Использование оператора сдвига z для описания дискретных систем

Как известно из теории управления динамические звенья в аналоговой форме могут описываться с помощью дифференциальных уравнений и передаточных функций. По аналогии с этим, дискретные системы, описываемые конечно-разностными уравнениями с постоянными коэффициентами, могут быть описаны дискретными передаточными функциями, получаемыми с помощью оператора сдвига z.

Представление с помощью оператора сдвига z дает возможность компактного описания динамического звенья, а также проведение различных структурных преобразований для получения передаточной функции (описания) каких-либо соединений. Например, для получения передаточной функции замкнутой одноконтурной системы. Для объекта первого порядка с запаздыванием дискретная передаточная функция может быть получена:

- дискретная передаточная функция первого порядка с запаздыванием

Получение передаточной функции с использованием сдвига z для регуляторов аналогично. Для регулятора первого порядка примет вид:

- дискретная передаточная функция регулятора первого порядка

Для объекта порядка n и регулятора порядка m дискретная передаточная функция примут вид:

Получим дискретную передаточную функцию для одноконтурной ЦСР при этом объект описывается конечно-разностным уравнением второго порядка без запаздывания, а регулятор реализует цифровой интегральный закон

В общем виде передаточную функцию любого соединения динамических звеньев можно представить в виде:

Используя обратное z преобразование можно от дискретной передаточной функции соединения перейти к конечно-разностному уравнению этого соединения:

где порядки знаменателя и числителя дискретной передаточной функции соединения

коэффициенты дискретной передаточной функции соединения

целое число тактов запаздывания соединения

По передаточной функции замкнутой системы можно определить свойства этого соединения, такие как устойчивость, а также задавая начальные условия можно рассчитать переходной процесс замкнутой системы прямое и образование преобразование оператора z, как преобразование Лапласа используется для упрощения структурных преобразований системы.