Типовые динамические звенья

Усилительное (безинерционное) звено.

Уравнение связи имеет следующий вид x_вых = k x_вх,

 

где k – коэффициент пропорциональности (усиления).

При единичном ступенчатом воздействии x_вх = 1(t) переходный процесс описывает следующее выражение

h(t) = k 1(t).

 

При прохождении сигнала через звено его форма не изменяется, а лишь меняется его величина. Звено не задерживает сигнал, мгновенно пропуская его к выходу. Поэтому звено является безинерционным.

В реальных системах таких звеньев нет. Обычно в АСР принимают за такие звенья те, у которых инерционность значительно меньше чем у других.

Передаточная функция звена имеет следующий вид W(p) = k.

 

Статическая и динамическая характеристика усилительного звена совпадают, и поэтому такое звено является статическим.

Инерционное звено (апериодическое первого порядка).

Уравнение связи имеет следующий вид

где T – постоянная времени объекта.

При единичном ступенчатом воздействии x_вх = 1(t) переходный процесс описывает следующее выражение

h(t) = k (1-e^-t/T).

 

Переходный процесс носит не колебательный характер, постоянно (асимптотически) приближаясь к новому равновесному состоянию. Поэтому звено называется инерционным. Чем больше постоянная времени, тем звено более инерционно.

Передаточная функция звена имеет следующий вид

При t ® ¥ . Уравнение связи будет описываться как

x_вых = k x_вх..

 

Следовательно, уравнения статики и динамики совпадают и такое звено является статическим.

Колебательное звено (апериодическое второго порядка).

Уравнение связи имеет следующий вид

 

где T₁, T₂ – постоянные времени объекта.

Если T₁/T₂ < 2, то имеет место колебательное звено. Если T₁/T₂ ³ 2, то имеет место инерционное звено второго порядка. При единичном ступенчатом воздействии x_вх = 1(t) переходный процесс описывает следующее выражение

h(t) = k{1-e^-at[coswt + (a/w)sinwt]},

 

где a = T₂/2T₁²; – частота изменения сигнала

 

где t = 2p/w - период затухания колебаний. x = 2T₁/T₂

Т.е. при прохождении через звено сигнал, колеблясь относительного нового равновесного состояния с течением времени, затухает, поэтому звено периодическое инерционное.

Передаточная функция звена имеет следующий вид

При t ® ¥ и .

 

Уравнение связи будет описываться как x_вых = k x_вх..

Следовательно, уравнения статики и динамики совпадают и такое звено является статическим.

Интегрирующее звено.

Уравнение связи имеет следующий вид

 

Это выражение показывает, что скорость изменения выходного сигнала в данном случае пропорционально величине входного.

Уравнение (проинтегрировав) можно записать в следующем виде

.

 

Поэтому оно носит название интегрирующего.

При единичном ступенчатом воздействии x_вх = 1(t) переходный процесс описывает следующее выражение

h(t) = kt,

 

При прохождении через звено сигнал монотонно возрастает и не имеет определенного равновесного состояния. Следовательно такое звено является астатическим. Только в случае, когда x_вх. = 0, то x_вых = const, т.е. при нулевом значении входа выходной сигнал принимает то значение на котором наступило равновесие.

Передаточная функция звена имеет следующий вид

(Иногда уравнение связи интегрирующего звена записывают в следующем виде , где , и, следовательно, передаточная функция запишется как .)

 

Дифференцирующее идеальное звено.

Уравнение связи имеет следующий вид

 

При единичном ступенчатом воздействии x_вх = 1(t) переходный процесс описывает следующее выражение .

 

Данное звено не пропускает сигналы, т.е. и x_вых = 0 и только в момент времени t = 0 появления входного воздействия имеет место импульс выходного сигнала.

Передаточная функция звена имеет следующий вид

Дифференцирующее реальное звено.

Уравнение связи имеет следующий вид

 

При единичном ступенчатом воздействии x_вх = 1(t) переходный процесс описывает следующее выражение .

Передаточная функция звена имеет следующий вид .

Следовательно, это звено можно представить как последовательное соединение инерционного звена первого порядка (с передаточной функцией ) и дифференцирующего идеального звена с коэффициентом усиления равным 1 (с передаточной функцией .)

Откуда выражение для общей передаточной функции примет вид

 

.

 

Данное звено не пропускает сигнал. При появлении входного сигнала он поступает на инерционное звено первого порядка и в момент времени t = 0 выходной сигнал возрастает до величины k/T. Далее он поступает на дифференцирующее идеальное звено и поэтому резко асимптотически уменьшается, стремясь к оси абсцисс.

Запаздывающее звено.

Уравнение связи имеет следующий вид

где t – время запаздывания.

При единичном ступенчатом воздействии x_вх = 1(t)

переходный процесс описывает следующее выражение h(t) =1 (1-t).

При прохождении через звено сигнал не меняет своего значения и формы, только сигнал выхода отстает от входного на отрезок времени t. (Пример - длинный трубопровод.)

Передаточная функция звена имеет следующий вид .

 

Если в передаточной функции заменить комплексную переменную р на jw, то выражение оно будет выглядеть как

 

{по формуле Эйлера} = coswt - jsinwt.

Откуда Re(w) = coswt и Im (w)=-sinwt. Тогда