Контрольная работа №2

В задачах 81-100 найти производные функций

81. а) у=хtgx+Lncosx+e ; б) ;

в) .

82. а) ; б) ;

в) .

83. а) ; б) ;

в) .

84. а) ; б) ;

в) .

85. а) ; б) ;

в) .

86. а) ; б) ;

в) .

87. а) ; б) ;

в) .

88. а) ; б) ;

в) .

89. а) ; б) ;

в) .

90. а) ; б) ;

в) .

91. а) ; б) ;

в) .

92. а) ; б) ;

в) .

93. а) ; б) ;

в) .

94. а) ; б) ;

в) .

95. а) ; б) ;

в) /

96. а) ; б) ;

в) .

97. а) ; б) ;

в) Lny+xy-5=0.

98. а) ; б) ;

в) .

99. а) ; б) ;

в) .

100. а) ; б) ;

в) .

В задачах 101-120 исследовать данные функции метода­ми дифференциального исчисления и построить их графики. Исследование функции рекомендуется проверить по следую­щей схеме: 1) найти область определения функции; 2) иссле­довать функцию на непрерывность; 3) определить, является ли данная функция четной, нечетной; 4) найти интервалы воз­растания и убывания функции и точки ее экстремума; 5) най­ти интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба; 6) найти асимптоты графика функции.

101. . 102. . 103. .

104. . 105. . 106. .

107. . 108. . 109. .

110. . 111. . 112. .

113. . 114. 115. .

116. . 117. . 118. .

119. 120. .

121. Каковы радиус основания R и высота Н открытого цилиндрического бака данного объема V, чтобы на его изго­товление пошло наименьшее количество листового металла?

122. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, за­вершенного сверху полукругом. Периметр сечения 18 м. При каком радиусе полукруга площадь сечения будет наиболь­шей?

123. Найти стороны прямоугольника наибольшей площади, который можно вписать в эллипс .

124. Найти наибольший объем цилиндра, полная поверх­ность которого равна S.

125. Найти наибольший объем конуса, образующая кото­рого равна L.

126. Определить размеры открытого бассейна с квадрат­ным дном объемом 32 м³ так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

127. Сумма двух положительных чисел равна а. Каковы эти числа, если сумма их кубов будет наименьшей?

128. Два коридора шириной 2,4 м и 1,6 м пересекаются под прямым углом. Определить наибольшую длину лестницы, которую можно перенести горизонтально из одного коридорав другой.

129. На параболе у=х² найти точку, наименее удаленную от прямой у = 2х —4.

130. Из всех прямоугольников, вписанных в круг радиуса R, найти тот, который имеет наибольшую площадь.

В задачах 131—135 исследовать на экстремум функцию z = f(x, у).

131. .

132. .

133. .

134. .

135. .

В задачах 136—140 найти наименьшее и наибольшее зна­чения функции z=f(x, у) в данной замкнутой области.

136. в прямоугольнике , .

137. в треугольнике, ограниченном осями Ох и Оу и прямой у=2-х.

138. в прямоугольнике , .

139. в области, ограниченной параболой и осью Ох.

140. в квадрате ,

В задачах 141-160 найти указанные неопределенные ин­тегралы и результаты интегрирования проверить дифференци­рованием.

141. а) ; б) ; в) .

142. а) ; б) ; в) .

143. а) ; б) ; в) .

144. а) ; б) ; в) .

145. а) ; б) ; в) .

146. а) ; б) ; в) .

147. а) ; б) ; в) .

148. а) ; б) ; в) .

149. а) ; б) ; в) .

150. а) ; б) ; в) .

151. а) ; б) ; в) .

152. а) ; б) ; в) .

153. а) ; б) ; в) .

154. а) ; б) ; в) .

155. а) ; б) ; в) .

156. а) ; б) ; в) .

157. а) ; б) ; в) .

158. а) ; б) ; в) .

159. а) ; б) ; в) .

160. а) ; б) ; в) .

В задачах 161—170 вычислить площадь фигуры, ограни­ченной указанными линиями. Сделать чертеж.

161. ; .

162. ; у=6-х.

163. ; у=4-х.

164. у=х ; у=4-х .

165. у=-х ; у=х-1.

166. ; у=х.

167. ; .

168. ; у=7-х.

169. ; у=3х+7.

170. ; у=-х.

В задачах 171 —175 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

171. ; .

172. ху=4; х=1; х=4;, у=0.

173. у=sinx (одна полуволна); y=0.

174. у=х ; у=3х-1.

175. .

В задачах 176-180 вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.

176. ; х=0.

177. .

178. х+у-2=0; х=0;у=0.

179. ху=2; х=0; у=1; у=4.

180. ; х=0; у=0; у=3.