Метод наименьших квадратов в случае промежутка.Метод наименьших квадратов в случае промежутка.
Пусть теперь функция y=f(x) задана не на стеке узлов, а на отрезке [a,b], и требуется найти её среднеквадратическое приближение в этом промежутке при помощи полинома: (1) В этом случае вместо конечной суммы S рассматриваем интеграл: (2) Подбираем коэффициенты полинома Pm(x) так, чтобы интеграл I при заданном m принимал наименьшее значение. Приравнивая нулю частные производные от I по всем ak, получим следующую систему уравнений: или в развернутой форме: (3)
или т.е. (4) Систему (4) запишем и в более привычном виде: (5) Определитель этой системы запишется в виде: (6) Определитель (6) есть определитель Грамма. Следовательно, , т.к. система функций линейно независима. Таким образом, система (5) имеет и притом единственное решение a0,a1,a2,…,am, которое, очевидно, и будет давать наименьшее значение интегралу I. Подставляя найденное решение в формулу (1), получим искомый многочлен. Рассмотрим, например, случай, когда отрезок [a,b] совпадает с отрезком [-1;1] и m=4. Тогда вводя обозначения: и вычисляя интегралы и вычисляя систему (5) в виде: Решая ее, находим: В этом случае, когда при построении приближения функции f(x) при помощи Pm(x) по методу наименьших квадратов, мы по каким-либо соображениям желаем получить в одних частях рассматриваемого промежутка более точное приближение по сравнению с другими его частями, можно поступить следующим образом: интеграл I, определенный равенством («), заменяем интегралом более общего вида: (6’) где - специальным образом подобранная неотрицательная функция, называемая весом; при этом в данной точке x должно выбираться тем больше по сравнению со значениями в других точках, отличных от x, чем большая точность приближения интересует нас в данной точке x. В остальном поступаем так же, как и в предыдущем случае.
|