Непрерывные случайные величины

До сих пор мы предполагали, что каждое из событий Z характеризуется конечным множеством состояний (z₁, z₂,... z_n) и вероятностями пребывания в каждом из них:

Pz₁, Pz₂,..., Pz_n;

Однако во многих случаях события могут принимать любые состояния из некоторого диапазона. Так, например, доходность какого-либо мероприятия может характеризоваться любым числовым значением ожидаемой прибыли.

В этом случае Z будет являться непрерывной случайной величиной, пространством возможных состояний которой будет весь диапазон допустимых её значений:

Z = {z | a £ z £ b},

содержащий бесконечное множество точек. При этом уже нельзя говорить о вероятности отдельного состояния, так как при бесконечно большом их числе вес каждого будет равен нулю. Поэтому распределение вероятностей для непрерывной случайной величины определяется иначе, чем в дискретном случае и для их характеристики используются: функции распределения вероятностей; плотности распределения вероятностей.

Функция распределения вероятностей F(x) определяет вероятность того, что значения случайной величины z не превзойдут некоторого x, то есть

F(x) = P(-¥ < z £ x)

Эта функция обладает такими свойствами, как: F(x) – неубывающая функция,
F(-¥) =0, F(¥) =1. Общий вид функции, удовлетворяющий отмеченным свойствам, графически можно представить в виде, аналогичном приведенному на рис.8.1. Зная функцию распределения вероятностей можно вычислить вероятность того, что значение случайной величины z окажется внутри малого интервала от x до x + Dx

 

Первый сомножитель в правой части последнего выражения есть значение вероятности, приходящаяся на единицу длины участка Dx. Предел этого отношения при представляет собой производную функции распределения

и называется плотностью распределения вероятностей. Отметим основные свойства функции f(x):

a).

т.е. интеграл плотности распределения вероятностей даёт вероятность того, что случайная величина z принимает значения, лежащие в интервале от a до b;

б).

откуда следует, что площадь, ограниченная кривой f(x) и осью абсцисс, всегда равна единице.