Задача потребления.

Для иллюстрации применения результатов предыдущего пункта получим результаты, к которым пришёл
Госсен, изучавший задачу потребления.

Пусть потребляются некие блага в количестве
х_i i = 1,..., n. Общая полезность i-го блага задана функцией Ти_i,
функция полезности имеет вид:

и(х_i,..., х_n) = Тu₁(х₁) +... + Ти_n(х_n),

а предельная полезность — Ми_i = (см. п. 3.4). Предположим, что возможности потребления ограничены
только временем Т. Пусть время t_i тратится на добывание блага х_i. Такое ограничение имеет вид:

t₁х₁ +... + t_nх_n= Т.

Требуется вслед за Госсеном найти набор благ х_i,
который соответствует максимуму функции и при
имеющемся ограничении. Используем принцип Лагранжа для решения этой задачи. В этой задаче только одно
ограничение g (x₁,..., х_n) = t₁х₁ +... + t_nx_n -Т, поэтому
вводится единственный множитель Лагранжа λ. Составим функцию Лагранжа:

L(x, λ) = и(х) — λg(х) = Ти₁(х₁) +... + Ти_n(х_n) — λ (t₁ х ₁ +... + t_nx_n— Т).

Запишем уравнения Лагранжа:

5.12

I= 1, 2, …, n.

t₁x₁+…+t_nx_n=T

Решение полученной системы уравнений — набор
благ с максимальной полезностью.

Из этой системы следует, что для
всех i, т.е. отношение предельной полезности блага к
времени добывания этого блага — постоянная величина
равная множителю Лагранжа.

Рассмотрим числовой пример. Пусть имеется 4
блага, функции Ти_i(х_i) = , а время Т = 9. В
табл. 5.3 приведены значения k_i и t_i. Тогда из уравнений
Лагранжа:

, i=1,…,4.

Отсюда

и λ= 6

Остальные результаты расчёта приведены в

табл. 5.4. Максимально возможная полезность равна 27.

 

Таблица 5.3 Таблица 5.4

 

 

i		2		4
хi	0,75		0,75	0,75
Тиi(хi)	2,25		4,5	2,25

 

i	l
ki			8
ti