Примеры решения типовых задач. 1.Выяснить, являются ли следующие операторы компактными в пространстве .

1. Выяснить, являются ли следующие операторы компактными в пространстве .

 

Пример 1. .

 

Решение. Докажем, что данный оператор не является компактным. Возьмем множество . Оно ограничено в . В то же время множество не является предкомпактным в , так как не удовлетворяет свойству Больцано-Вейерштрасса. В самом деле, из последовательности нельзя извлечь сходящуюся в подпоследовательность в силу того, что любая ее подпоследовательность будет иметь разрывный предел (какой?), а предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций должен быть непрерывен. В соответствии с определением компактного оператора данный оператор не компактен.

 

Пример 2. .

 

Решение. Представим данный оператор в виде , где

, ,

и докажем, что операторы и компактны. Оператор компактен как интегральный оператор Фредгольма с непрерывным ядром.Компактность оператора следует из того, что он является ограниченным оператором конечного ранга. Действительно, он ограничен, так как

,

а с другой стороны образ оператора А есть

,

а потому

,

поскольку все функции линейно выражаются через функцию . Следовательно, оператор компактен как сумма компактных операторов.

 

2. Выяснить, является ли оператор компактным.

 

Пример 1. .

 

Решение. Докажем, что оператор является компактным. Рассмотрим следующую последовательность линейных операторов конечного ранга:

(образ оператора содержится в n -мерном подпространстве пространства l ₁ , состоящем из векторов вида ).

Эти операторы ограничены. Действительно,

Следовательно, они компактны. Теперь компактность оператора А следует из того, что последовательность сходится к А по норме, так как

,

а потому

,

поскольку остаток сходящегося ряда стремиться к нулю.

3. Выяснить, является ли оператор компактным.

 

Пример 1. , .

 

Решение. Возьмем в произвольное ограниченное множество М. Его ограниченность означает, что

.

Отсюда следует, что

, .

Рассмотрим теперь множество . Оно равномерно ограничено, так как . Кроме того, равностепенно непрерывно, так как по теореме Лагранжа

.

В силу теоремы Арцела-Асколи множество предкомпактно. Значит, оператор А компактен.

 

Пример 2. , .

Решение. Возьмем ограниченное в множество

(проверьте ограниченность множества М). Множество не является предкомпактным в пространстве , так как не содержит сходящихся в подпоследовательностей (т. е. не удовлетворяет свойству Больцано-Вейерштрасса). В самом деле, из сходимости последовательности в следует равномерная сходимость последовательности ее производных (проверьте это). А с другой стороны, из последовательности нельзя извлечь равномерно сходящуюся подпоследовательность (почему?). Значит, данный оператор не компактен.