Непрерывность суммы рядаТеорема. Если все члены ряда
Док-во: Пусть По усл-ю, ряд (1) равномерно сх-ся на [a;b], т.е
Фиксируем номер В частности, при x= Ф-ция Восп. рав-вом S(x)-S( Отсюда получаем, исп. (4)-(6) и нер-во треугольника: т.е справедливо утв-е (2). В силу произвольности точки
31.Интегрирование и дифференцирование ряда. Рассмотрим степенной ряд
Функция
Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство
Если ряд интегрируется на отрезке [0; x ], то справедлива формула:
|
(1) - непрерывные на [a;b] ф-ции, а ряд (1) сх-ся равномерно на [a;b], то его сумма S(x) также непрерывна на отрезке [a;b].
- произв.точка [a;b]. Для опр-ности будем считать, что 
(a;b). Нужно док-ть, что S(x)= 
< 
(2), 
[a;b].
n 
[a;b] 
< 
(3), где 
= 
.
, тогда при n= 
из (3) получаем: 
< 
находим 
< 
(x) непрерывна в 
[a;b] 
< 
(x)- 
, для 
, имеющий радиус сходимости R > 0:
является непрерывной функцией при | x | < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой
