Сложение дисперсий

Общая дисперсия характеризует общую вариацию признака под влиянием всех условий, всех причин, вызывающих эту вариацию.

Для определения влияния постоянного фактора на величину вариации пользуются аналитической группировкой.

Размеры систематической вариации определяются при помощи дисперсии групповых средних.

Межгрупповая дисперсия характеризует колеблемость групповых или частных средних около общей средней и исчисляется по формуле:

где – средняя по каждой отдельной группе, или групповая средняя

– средняя по всей совокупности;

– число единиц совокупности;

– частоты или веса.

Таким образом, межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, которая возникает под влиянием фактора признака, положенного в основу группировки. Эту дисперсию называют факторной дисперсией

Для определения влияния случайных факторов и их роли в общей вариации определяют дисперсию в пределах каждой группы, т.е. внутригрупповую дисперсию, а затем среднюю из внутригрупповых дисперсий.

Внутригрупповая дисперсия отражает случайную вариацию, т.е. часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует случайную вариацию, которая возникает под влиянием всех факторов, кроме фактора, положенного в основание группировки. Эту дисперсию называют остаточной дисперсией .

Чтобы определить её, надо рассчитать вначале внутригрупповые дисперсии по каждой группе в отдельности, а затем среднюю из них: .

Между общей дисперсией, факторной и остаточной дисперсий существует соотношение, определяемое правилом сложения дисперсий.

Согласно этому правилу общая дисперсия равна сумме факторной и остаточной дисперсий:

Зная любые два вида дисперсий, можно определить или проверить правильность расчета третьего вида.

Правило сложения дисперсий позволяет выявить зависимость результата от определяющих факторов с помощью соотношения межгрупповой дисперсии и общей дисперсии.

Соотношение называется эмпирическим коэффициентом детерминации.

Он показывает, какая доля в общей дисперсии приходится на дисперсию, обусловленную вариацией признака, положенного в основу группировки.

Корень квадратный из эмпирического коэффициента детерминации носит название эмпирического корреляционного отношения:

Это отношение характеризует влияние признака, положенного в основание группировки, на вариацию результативного признака. Эмпирическое корреляционное отношение изменяется в пределах от 0 до 1. Если , то группировочный признак не оказывает влияния на результативный. Если , то результативный признак изменяется только в зависимости от признака, положенного в основание группировки, а влияние прочих факторных признаков равно нулю. Промежуточные значения оцениваются в зависимости от их близости к предельным значениям.