Построение дерева кратчайших путейДерево кратчайших путей – это ориентированное дерево с корнем в вершине S. Все пути в этом дереве – кратчайшие для данного графа. Дерево кратчайших путей строится по таблице, в него включаются вершина за вершиной в том порядке, в котором они получали постоянные метки. Первым в дерево включается корень – вершина S. Построим дерево кратчайших путей для нашего примера. Сначала включаем в дерево корень – вершину 1. Затем в дерево включается дуга (1,6). Следующей была упорядочена вершина 9, длина кратчайшего пути до которой равна 3. Первый раз число 3 появилось в третьей строке, которая заполнялась при Затем была упорядочена вершина 2 с длиной кратчайшего пути, равной 4. Это число первый раз появилось в третьей строке, которая заполнялась при Далее была упорядочена вершина 12, Алгоритм Дейкстры может ошибаться, если в графе есть дуги отрицательной длины. Так, отыскивая кратчайшие пути от вершины s =1 для графа на рис. 6, алгоритм сначала упорядочит вершину 3, затем вершину 2 и закончит работу. При этом этот кратчайший путь до вершины 3, с точки зрения алгоритма Дейкстры, - это дуга (1,3) длины 3. На самом деле, кратчайший путь до вершины 3 состоит из дуг (1,2) и (2,3), длина этого пути равна 5+(-3)=2. Из-за наличия дуги (2,3) отрицательной длины –3 оказались нарушенными следующие базовые принципы: · ближайшая к s вершина лежит от нее на расстоянии двух дуг, а не одной; · промежуточная вершина кратчайшего пути 1-2-3 (вершина 2) лежит дальше от вершины 1 (на расстоянии 5), чем конечная вершина пути 3. Следовательно, присутствие дуг отрицательной длины усложняет решение задачи о кратчайшем пути и требует использования более сложных алгоритмов, нежели алгоритм Дейкстры.
|
. Следовательно, вершина 6 – предпоследняя вершина кратчайшего пути до вершины 9. Включаем в дерево дугу (6,9) длины 1.
. Первый раз число 4 появляется в четвертой строке, которая заполнялась при 
. В дерево включается дуга (9,12) длины 1. Полное дерево кратчайших путей показано на рис. 5.
