СМО с конечной очередью. Определение вероятностей состоянийСМО с конечной очередью длины т характеризуется тем, что при поступлении очередной заявки возможны три исхода: – заявка немедленно принимается на обслуживание, если в системе в данный момент находится k заявок и k<n; – заявка становится в очередь, если п£ k<n+m; – заявка получает отказ и покидает систему, если k=n+m.Следовательно, в любой момент времени система может находиться в одном из п+т+1 состояний, то есть множество состояний Увеличение числа заявок в системе происходит только под воздействием потока заявок интенсивности l, а уменьшение числа заявок в системе — только в результате завершения обслуживания одной из заявок, то есть (k занятых приборов порождают поток обслуженных заявок интенсивности k m).
Для определения вероятностей состояний системы в формулы (2.16) и (2.17) подставим значения и получим: – для k£n – для k<n Полагая в уравнении (2.17) N=n+m, находим (2.25) Учитывая, что a0/0!=1 и вычисляя сумму т членов геометрической прогрессии со знаменателем r, находим (2.26) Из уравнения (2.16) находим вероятности состояний ; (2.27) (2.28) На основании формул (2.25) – (2.28) определим основные показатели эффективности системы. 1. Вероятность отказа в обслуживании – это вероятность того, что в СМО имеется п+т заявок, то есть (2.29) Зная Ротк по формулам (2.19) – (2.21), можно вычислить абсолютную и относительную пропускную способность системы, среднее число занятых приборов, коэффициенты их загрузки и простоя. 2. Вероятность того, что поступившая в систему заявка застанет все каналы занятыми (не будет немедленно принята на обслуживание), . (2.30) 3. Средняя длина очереди , где Pn+r – вероятность того, что в очереди находится ровно r заявок (k=n+r). Подставляя в полученное выражение Pn+r, находим ; (2.31) . (2.32) 4. Среднее время ожидания в очереди определяется как математическое ожидание. Если к моменту поступления заявки в очереди находится r=0, 1,..., т–1 заявок, то она поступит на обслуживание после завершения обслуживания r+1 заявок, то есть ; . (2.33) Среднее время ожидания – это среднее время накопления очереди длиной L. Среднее число заявок, находящихся в СМО, и среднее время пребывания заявки в системе определяются по формулам (2.22) и (2.23) с учетом формул (2.31) – (2.33). Из полученных соотношений следует, что показатели Ротк, q, Nз, L, Y не зависят от конкретных значений l и m, а только от их соотношения a. Показатели напротив, чувствительны к изменению не только параметра a, но и к изменению l при a=const. Так, например, при увеличении l и m в два раза Ротк, q, nз и L не изменяются, Q увеличивается, а уменьшается в два раза, то есть при одновременном увеличении плотности потоков заявок и обслуживании характеристики процесса обслуживания улучшаются.
|