Одноканальная СМО с ожиданием и ограниченной очередью

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.
Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание поток имеет интенсивность λ. Интенсивность потока обслуживания равна μ (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать μ обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчи­ненная показательному закону распределения. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.
Рассмотрим систему с ограниченной очередью. Предположим, что независимо оттого, сколько требований по­ступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N -требований (заявок), из которых одна обслуживается, а (N -1) ожидают, Клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены об­служиваться в другом месте и такие заявки теряются. Наконец, источник, порождающий за­явки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно боль­шую) емкость.
Обозначим - вероятность того, что в системе находится n заявок. Эта величина вычисляется по формуле:

Здесь - приведенная интенсивность потока. Тогда вероятность того, что канал обслуживания свободен и в системе нет ни одного клиента, равна: .
С учетом этого можно обозначить

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):
вероятность отказа в обслуживании заявки:
P_отк=Р_N=
относительная пропускная способность системы:

абсолютная пропускная способность:
А = q ∙λ;
среднее число находящихся в системе заявок:

среднее время пребывания заявки в системе:
;
средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:
W_q = W_s - 1/μ;
среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):
L_q =λ(1- P_N) W_q.
Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.
Пример. Специализированный пост диагностики представляет собой одноканальную СМО. Число стоянок для автомобилей, ожидающих проведения диагностики, ограниченно и равно 3, то есть (N — 1)=3. Если все стоянки заняты, т. е. в очереди уже находится три автомобиля, то очередной автомобиль, прибывший на диагностику, в очередь на обслуживание не становится. Поток автомобилей, прибывающих на диагностику имеет интенсивность λ;=0,85 (автомобиля в час). Время диагностики автомобиля распределено по показательному закону и в среднем равно =1,05 час.
Требуется определить вероятностные характеристики поста диагностики, работающего в стационарном режиме.
Решение
Интенсивность потока обслуживаний автомобилей:

Приведенная интенсивность потока автомобилей определяется как отношение интенсивностей λ и μ, т.е.

Вычислим вероятности нахождения п заявок в системе:

P ₁=r∙ P ₀=0,893∙0,248=0,221;
P ₂=r²∙ P ₀=0,893²∙0,248=0,198;
P ₃=r³∙ P ₀=0,893³∙0,248=0,177;
P ₄=r⁴∙ P ₀=0,893⁴∙0,248=0,158.
Вероятность отказа в обслуживании автомобиля:
P_отк = Р ₄=r⁴∙ P ₀≈0,158.
Относительная пропускная способность поста диагностики:
q =1– P_отк =1-0,158=0,842.
Абсолютная пропускная способность поста диагностики
А =λ∙ q =0,85∙0,842=0,716 (автомобиля в час).
Среднее число автомобилей, находящихся на обслуживании и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):


Среднее время пребывания автомобиля в системе:
часа.
Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:
W_q = W_s -1/μ=2,473-1/0,952=1,423 часа.
Среднее число заявок в очереди (длина очереди):
L_q=λ∙(1-P_N)∙W_q= 0,85∙(1-0,158)∙1,423=1,02.
Работу рассмотренного поста диагностики можно считать удовлетворительной, так как пост диагностики не обнаруживает автомобили в среднем в 15,8% случаев (Р_отк =0,158).