Волновые процессы в линиях электропередачПри прямых ударах молнии в линию электропередач (ЛЭП) или вблизи неё в землю, включении или отключении источников питания, обрывах, коротких замыканиях возникают электромагнитные волны, распространяющиеся от точки внезапного изменения напряжения вдоль проводов ЛЭП в обе стороны. Движение и преломление этих волн приводит к возникновению перенапряжений, воздействующих на изоляцию оборудования ЛЭП, электрических станций и подстанций. Поскольку ЛЭП обладают достаточной протяжённостью, то их напряжения и токи меняются как с течением времени, так и в зависимости от координаты. Линии электропередач высокого напряжения имеют малые активные сопротивления проводов и совершенную изоляцию. Поэтому в первом приближении при исследовании электромагнитных процессов в них можно пренебречь потерями. В этом случае уравнения Кирхгофа, записанные для элемента линии длиной , имеющем на единицу длины продольную индуктивность L 0 и поперечную емкость C 0, преобразуются в дифференциальные уравнения:
Решение этих уравнений может быть представлено в виде суммы двух функций, называемых прямой и обратной волнами: Здесь u 12 и i 12 – прямые (или падающие) волны, соответственно, функции напряжения и тока от расстояния x, перемещающиеся в сторону положительных значений координаты x, а u 12 и i 12 – обратные ( или отражённые) волны, причём i 12 = u 12 /Z; i 21 = – u 21 /Z; – волновое сопротивление ЛЭП; – скорость распространения волны по линии; c = 300 000 км/с (300 м/мкс) – скорость света; – относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости среды (изоляции). Таким образом, напряжение (ток) в любой точке линии следует определять в виде суммы двух волн – прямой и обратной, бегущих навстречу друг другу со скоростью n. В более общем случае, напряжение (ток) в любой точке линии равно сумме всех падающих и отраженных волн, присутствующих в данный момент времени в данной точке. В этом и состоит сущность волнового метода анализа переходных процессов в длинных линиях. Поскольку целью нашего изучения являются перенапряжения, то в дальнейшем будем рассматривать только волны напряжения. Прямую волну напряжения u 12, распространяющуюся от точки своего возникновения в направлении, принимаемом за положительное, создаёт источник (в нашем случае – разряд молнии). Обратная волна напряжения u 21 появляется (и следовательно, определяется) только в узловых точках – в точках, в которых меняется однородность линии. Таковыми являются, например, точки соединения двух линий с разными волновыми сопротивлениями, подключения нагрузки, образования разрывов и т. п. В них происходит отражение и преломление волн. Отражённая (обратная) волна возвращается в линию, по которой пришла прямая (падающая) волна от источника, а преломлённая в узловой точке волна, продолжает двигаться в прежнем положительном направлении. До того момента времени, пока отражённая от узловой точки волна не пришла в точку наблюдения, напряжение в ней определяется лишь падающей волной: u = u 12. После прихода отражённой волны напряжение в точке наблюдения уже равняется сумме двух волн: u = u 12+ u 21. Заметим, что в узловой точке, например 2, отражённая волна появляется одновременно с приходом падающей. Поэтому напряжение в узловой точке сразу определяется либо как сумма волн падающей u 12 и отраженной u 21, либо равняется преломлённой волне u 2. Результат в обоих случаях совпадает. Связь между отражённой и падающей волнами удобно устанавливать при помощи коэффициента отражения , а между преломлённой и падающей – с использованием коэффициента преломления : u 21 = · u 12; u 2 = · u 12, для которых выполняется соотношение , вытекающее из выражения, отражающего суть волнового метода: u 2 = u 12 + u 21. В случаях, если у линии с волновым сопротивлением Z нагрузкой является эквивалентное активное сопротивление Z Н, то коэффициенты отражения и преломления определяются по формулам: и . Линию, по которой распространяется волна, можно считать бесконечно длинной, если при анализе процессов на одном из её концов по каким-либо причинам допустимо не учитывать процессы, происходящие на другом её конце. Пусть прямая (падающая) волна u 12 распространяется вдоль бесконечно длинной линии 1-2 с волновым сопротивлением Z 1, нагруженной на активное сопротивление Z Н = R 2 (рис. 1.1.1). Тогда напряжение в конце линии (преломлённая волна) , а отраженная волна напряжения . Здесь и –коэффициенты, соответственно, преломления и отражения волны в точке 2: ; , для которых справедливо соотношение . Здесь индексы «12» у коэффициента преломления и «21» у коэффициента отражения указывают, что преломлённая волна u 2, хотя и переходит в другую среду, движется в том же направлении, что и падающая волна u 12 (от точки 1 к точке 2), а отражённая волна u 21 возвращается в прежнюю среду и перемещается в противоположном направлении. В частном случае, если линия в конце разомкнута, то R 2 = ∞;; = 2; = 1,т. е. в точке 2 происходит отражение падающей волны без изменения величины и знака, а преломлённая волна равняется удвоенному значению падающей. Пусть узловая точка – это точка соединения двух линий 1-2 и 2-3 с волновыми сопротивлениями Z 1и Z 2 (рис. 1.1.2). При этом линии 1-2 и 2-3 считаются бесконечно длинными, т. е. в рассматриваемые моменты времени волны, отраженные от точек 1 и 3, не успевают вернуться в точку 2. Тогда u 32 = 0 и u 2 = u 23+ u 32 = = u 23= u 12. Таким образом, задача о нахождении u 23и u 2в такой схеме может быть сведена к определению u 2в схеме на рис. 1.1.1 при условии, что нагрузкой для линии 1-2 является линия 2-3, представленная своим волновым сопротивлением Z Н = Z2. Дополнительно учитывать влияние нагрузки самой линии 2-3 было бы ошибочно, поскольку, по условию задачи, процессы в точке 3 на напряжение в точке 2 не влияют. Рис. 1.1.1. ЛЭП, нагруженная Рис. 1.1.2. Соединение двух на активное сопротивление ЛЭП с разными волновыми сопротивлениями В рассмотренных примерах напряжение в точке 2 может быть найдено также с помощью схемы с сосредоточенными параметрами – схемы замещения Петерсена (рис. 1.1.3). Эта схема получена из исходных (см. рис. 1.1.1 и 1.1.2) заменой линии 1-2 с приходящей волной источником ЭДС 2 u 12 свнутренним активным сопротивлением равным волновому R 1= Z 1, подключенному к сопротивлению нагрузки линии Z Н. Ключ К замыкается в момент прихода падающей волны в точку 2. Следует заметить, что схема Петерсена строится только для одной узловой точки и не позволяет определять напряжения в других точках рассматриваемой ЛЭП. Если в точке 2 сопряжения двух бесконечно длинных линий включена ёмкость С (рис. 1.1.4, а), то для определения напряжения u 2при приходе по линии 1-2 волны u 12 с прямоугольным фронтом и амплитудой U 0можно воспользоваться схемой замещения, приведенной на рис. 1.1.4, б. В этой схеме ключ замыкается в момент прихода в точку 2 волны u 12. В результате в схеме развивается такой же переходный процесс, как и при подключении цепи к источнику постоянной ЭДС 2 u 12= 2 U 0. Данному процессу соответствует дифференциальное уравнение первого порядка (рекомендуем его составить и решить самостоятельно). Рис. 1.1.4. Расчётная схема (а) и схема замещения (б) при прохождении волны с прямоугольным фронтом мимо узловой точки с включенной в ней ёмкостью Решив это уравнение, можно найти напряжение в точке 2, которое совпадает с преломлённой в данной точке волной: где R 1 = Z1; R 2 = Z2; T = C·R 1· R 2/(R 1+ R 2). В соответствии с волновым методом, отражённую от точки 2 волну можно найти как разность преломлённой и падающей: u 21 = u 2 – u 12; Таким образом, у электромагнитной волны, проходящей узел с включенной ёмкостью, уменьшается крутизна фронта из-за того, что емкость мгновенно зарядиться не может. При равенстве волновых сопротивлений сопрягаемых линий и воздействии волны большой длины напряжение в узловой точке принимает вид, представленный на рис. 1.1.5, а. При малой длине волны уменьшается и амплитуда напряжения (рис. 1.1.5, б), т. к. ёмкость не успевает полностью зарядиться. Рис. 1.1.5. Кривые изменения напряжения в узловой точке с ёмкостью при воздействии волны с прямоугольным фронтом u 12 бесконечно длинной (а) и длиной τ (б) На практике встречаются случаи, когда волна, распространяясь по линии, встречает короткую вставку с волновым сопротивлением Z 0,отличным от волнового сопротивления основной линии (рис. 1.1.6). Например, две воздушные линии с волновыми сопротивлениями Z 1и Z 2 соединены коротким кабелем с волновым сопротивлением Z 0. Попадая на короткую вставку, волна многократно отражается на ее концах. В результате, после прохождения вставки форма волны меняется. Рассмотрим распространение волн в схеме (см. рис. 1.1.6) с учетом многократных отражений на концах линии 1-2 длиной l 0.Время пробега волны по ней 0 = l 0 /v. В момент времени t = 0 волна u 01 приходит в узел 1, где преломляется с коэффициентом и отражается с коэффициентом . Преломленная волна через время 0 доходит до точки 2. Здесь она вновь претерпевает преломление в линию 2-3 с коэффициентом и отражение с коэффициентом . Отраженная от узла 2 волна приходит к узлу 1, где, в свою очередь, преломляется в линию 1-0 с коэффициентом и отражается обратно в линию 1-2 с коэффициентом . Рис. 1.1.6. Иллюстрация многократных отражений волны напряжения от концов короткой вставки с помощью характеристической сетки Процесс многократных отражений и преломлений хорошо иллюстрирует приведенная на рис. 1.1.6 пространственно-временная диаграмма – характеристическая сетка. По горизонтальной оси диаграммы откладывается расстояние x, отсчитываемое от начала линии (точка 1), по вертикальной оси – время, и в этих координатах отображаются появляющиеся волны. Пользуясь характеристической сеткой, легко определять напряжение в любой точке линии 1-2 в необходимый момент времени t как сумму напряжений всех прямых и обратных волн, возникших к этому моменту в данной точке линии. Так, напряжение u 2 в точке 2 определится как сумма всех преломленных в линию 2-3 волн к моменту t: где уст = 2 Z 2/(Z 1+ Z 2); n – число преломлений в точке 2, произошедших к моменту времени t, причем . Найти напряжение u 1 можно, например, сложив все прямые и обратные волны, возникшие в точке 1 со стороны линии 0-1 к моменту времени t. После преобразований выражение для определения величины напряжения u 1 примет вид: где n – число отражений в точке 1, произошедших к моменту времени t, причем . Характер деформации волны u 01 при прохождении короткой вставки зависит от соотношения волновых сопротивлений линии 0-1, 1-2 и 2-3. Если и одного знака, то изменение во времени напряжения в точке 2 изображается ступенчатой линией (рис. 1.1.7), которую можно аппроксимировать проведенной через середины её горизонтальных участков кривой (здесь T = 2 0 / ln( )): Например, если Z 1 = Z 2 = Z > Z 0, то T ≈ CZ /2. Здесь С = C 0 l 0– полная ёмкость линии 1-2. Следовательно, напряжение в конце вставки (точка 2) изменяется подобно тому, как менялось бы напряжение в этой точке, если индуктивность линии 1-2 принять равной нулю и учитывать только её ёмкость (см. рис. 1.1.7). Если же Z 1 = Z 2 = Z < Z0, то T ≈ L/ (2Z), где L = L 0 l 0– полная индуктивность линии 1-2. В этом случае напряжения в начале u 1 и конце u 2 вставки аналогичны тем, которые появятся в этих точках, если ёмкость линии принять равной нулю и учитывать только индуктивность (графики постройте самостоятельно). Контрольные вопросы 1. В чём сущность волнового метода анализа переходных процессов? 2. Каковы причины появления прямых и обратных волн в линиях и как определяются их величины? 3. Как определяются волновое сопротивление и скорость распространения волны вдоль линии? Каковы примерные значения этих параметров для воздушных и кабельных линий? 4. В каких случаях линию можно считать бесконечно длинной? 5. В каких случаях приходящую волну можно считать бесконечно длинной? 6. Как строится схема замещения Петерсена? 7. Как наличие ёмкости в узле влияет на изменение напряжения в этой точке? 8. Каковы причины многократных отражений волн в элементах электрических сетей? Когда наблюдаются многократные отражения? Приведите примеры. В чем сущность метода характеристической сетки? 9. Можно ли короткую вставку представить сосредоточенным параметром
|