Вывод алгоритма выравнивания коррелатным способом

Суть уравнивания(алгоритма) закл. в том, чтобы найти вектор поправок V, при кот-м уравненные величины будут достаточ-ми, несмещ-ми и эффективными оценками, т.е. такой же должна быть и функция уравненных величин. Пусть им-ся вектор измерений y: у=Y+∆, где Y-истинное значение измеренных величин; ∆-вектор истинных ошибок.

Любая функция измер-х величин имеет вид: F(y)=F(Y+∆) или разлог. ее в ряд Тейлора: F(y)=F(Y)+f∆; f=∂F/∂Y.Эта функция записана до уравнивания. Оценка этой функции после уравнивания должна быть достаточной, не смещенной и эффективной. 1. В случае достаточности, должны учит. рез-ты. всех измерений геодезической сети, а при составлении условных уравнений измерения объединяются в свободные члены. Ведь свободные члены – это невязки, а невязки вычисляются по всем измерениям. F(y)=F(Y)+f∆+G^TW, где W – вектор свободных членов всех условных уравнений, G^T – это некоторая матрица которую следует найти такой, чтобы функция была не смещенной и эффективной. Для ясности представим вектор

W = B∆, где ∆ - вектор истинных ошибок результатов измерений, В – матрица коэффициентов условных уравнений. F(y)=F(Y)+f∆+G^TB∆. 2. Проверим эту запись на несмещенность. Для этого найдем математич ожидание этого выражения M_F=MF(Y)+M_∆(f+G^TB). Считаем, что ошибки измерений не содержат систем-х ошибок, т.е. M_∆=0, M_F= F(Y). То есть математическое ожидание оцениваемой функции будет равно ее истинному значению. 3. Для достижения эффективной оценки у следует найти такую матрицу G, при которой достигается минимум дисперсии у. Для поиска миним-х дисперсий следует искать дисперсию следующ. функции: F(y) =(f+G^TB) ∆. Потому чтодисперсия истинного значения функции = 0, т.е. D_F(y)=0 F(y)=F(Y)+f∆+G^TB∆; F(y)=F(Y)+(f G^TB) ∆. Если F(Y)=0, то F(y)= (f +G^TB) ∆. С точки зрения матричного исчисления если есть функция Y=AX, где А-некоторая матрица, а X-вектор, то D(Y)=AK_xA^T, где K_x- корреляц. матрица вектора x.

σ₁² k ₁₂ k ₂₁

K_x= k ₂₁ σ₂² k ₂₃

k _n1 k _n2 σ_n²

Это таблица, в кот-й по диагон. –дисперсии изм-х величин, а не диагон. Элем-ты=коррел-м моментам этих измерений. Применим это правило для нашей функции: D_F=(f +G^TB)К∆ (f +G^TB)^Т; К∆= σP^-1 где P-матрица весов измерений, σ-стандарт измерений,вес которых =1. P1 0 0

P=0 P2 0

0 0 Pn

 

Для простоты будем полагать корреляц. моменты=0. Измер. некоррел-ны, т.е. независимы σ_i²= σ²*1/P (Если есть измерения Р1- σ₁² и Р2- σ₂², то Р1/Р2= σ₂²/ σ₁²; если Р1=1, то σ₂²= σ₁²*1/P).

D_F=(f +G^TB) (σ²P^-1) (f +G^TB)^Т ; зная, что (f +G^TB)^Т= f ^T+B ^ТG;

D_F= σ²(f +G^TB) P^-1 (f ^T+B ^ТG). Осуществим произведение D_F= σ²(f P^{-1 f T}+ f P^-1 B ^ТG+ G^TB P^{-1 f T}+ G^TB P^-1 B ^ТG). Поскольку нам необ-мо найти матрицу G-доставл.минимум дисперсии D_F=минимум, то найдем производную по матрице G и приравняем ее к 0. ∂ (D_F) /∂ (G)=0. f P^-1 B ^Т+ f P^-1 B ^Т+2G^TB

P^-1 B ^Т=0. 2 f P^-1 B ^Т+2G^TB P^-1 B ^Т=0. f P^-1 B ^Т +G^TB P^-1 B ^Т=0. Введем обозначения: B P^-1 B ^Т=N (N матрица нормальных уравнений), тогда f P^-1 B ^Т+ G ^TN=0. Для вычисления G ^T умножим это уравнение на обратную матрицу N^-1справа. f P^-1 B ^Т N^-1+ G ^TN N^-1=0. NN^-1=Е (един.матрица).

f P^-1 B ^Т N^-1+ G ^T=0, отсюда G ^T= - f P^-1 B ^Т N^-1 тогда подставляя G ^T в исходное выражение функц. Оценка функции будет F=F(Y)+f∆+G ^TW. F= F(Y)+f∆ - f P^-1 B ^Т N^-1W. F(y)=F(Y)+f∆. F=F(y)+(- f P^-1 B ^Т N^-1W). Если вместо функции брать вектор измерений, тогда f=E, если для 1 измерения f=1, то уравн-е знач. y=y+(- P^-1 B ^Т N^-1W), а это значит - P^-1 B ^Т N^-1W=V.

Исходя из изложенного можно составить алгоритм уравнивания коррелатным способом: 1. Составляется система урав-й (ВV+W=0), соотв-но матрица коэффиц-в В и вектор свободных членов W. 2. Назначаются веса измерений, если надо то сост-ся весовая функция, т.е. функция дисперсию которой неоюходимо оценить. 3. Вычисляется матрица нормальных уравнений N=BP^-1B^T и реш-ся система норм-х урав-й Nk-W=0. 4. Находятся поправки к измеренным величинам по формуле:- P^-1 B ^Т N^-1W=V.

Дисперсии функции уравненных величин вычисл-ся так: исход-я формула дисперсии иммет вид

D_F= σ²(f P^{-1 f T}+ f P^-1 B ^ТG+ G^TB P^{-1 f T}+ G^TB P^-1 B ^ТG), где G^T=- f P^-1B ^Т N^-1

Следовательно, D_F= σ²(f P^{-1 f T}- fB ^Т N^-1 B P^{-1 f T}).

Настоящий алгоритм можно вывести и на основе метода наименьших квадратов. Если известно, что ошибки измерений распределены по нормальному закону с функцией плотности

dktK-определитель матрицы К, то согласно методу максимального правдоподобия минимум логарифма функции правдоподобия сводится к минимуму след. функции: V^TK^-1V или функции V^TPV, где P=K^-1

При наличии условных уравнений сост-ся функционал Лангранжа:

L= V^TPV+ 2k^T(BV+W), где k–вектор неопред-х множителей Лагранжа-коррелат. Если продеффер-ть по V и производную приравнять к 0: 2V^TP+2k^TB=0 из этого найдем вектор поправок:

V^T= -k^TB P^-1 или V= -P^-1B^Tk. Подставляя вектор в условное уравнение сост-ся система нормальных уравнений Nk-W=0, где

N=BP^-1B^T, отсюда k=N^-1W по кот-му нах-ся поправки в измерения. Вектор поправок можно вычс-ть по формуле: V= -P^-1B^Tk. Но тогда вектор k наход-ся из системы нормальных уравнений вида Nk+W=0.