Особенности математики как науки

Так появляет­ся специфическая интеллектуальная игра, победителем в которой выступает тот, кто раньше других обнаружит неведомое. Считается, что Фалес был первым, кто превратил математику (геометрию) в такую игру. А. Шопенгауэр в какой-то мере был прав, когда назвал геометри­ческое доказательство мышеловкой.

Отход математики от требования субъективной очевидности всех проводимых операций протекал долго и болезненно. Лишь в XIX в. стало появляться предчувствие, что единственно Ис­тинных аксиомой несомненно достоверных Истинных правил вывода вообще не существует. Но тогда в принципе можно придумывать любые аксиомы и создавать любые правила игры. Со­здание новых логических и математических структур есть лишь создание правил новых математических игр, где одни признан­ные аксиоматически правильными высказывания преобразуют­ся в другие. Математика сродни мифотворчеству, — утверждал великий математик XX в. Г. Вейль²². «Аксиомы, — признавался А. Эйнштейн, — свободные творения человеческого разума*²³. Важно лишь, чтобы и аксиомы, и правила для самих играющих были однозначны и не приводили в итоге к противоречию. Ведь если один игрок играет по одним правилам, а другой — по дру­гим, или если один игрок одновременно должен делать два раз­ных, не совместимых друг с другом действия, то игры не полу­чится. Играющий в преферанс в принципе не способен выиграть у человека, играющего в этот момент в подкидного дурака, в шашки или в бильярд. Нельзя ни назвать какую-либо одну из игр верной, ни оценить, кто из игроков, играющих в разные игры, играет лучше. Так и в логико-математических науках — оценке подлежит только одно: может ли данное высказывание быть получено из заданной системы аксиом путем тавтологичес­ких преобразований (т. е. преобразований по заданным правилам) самих этих аксиом. В этих науках нет и не может быть кри­терия оценки истинности высказывания как достоверного высказывания об окружающем мире, есть только критерий оцен­ки правильности, корректности высказывания.

Сами по себе разные игры отнюдь не обязательно должны быть согласованы между собой и взаимно непротиворечивы. Соответ­ственно, разных математических структур может быть много, вполне могут противоречить друг другу.

Но все-таки логика и математика — это не игра в бисер. Как правило, и логики, и математики конструируют и развивают та­кие структуры, которые интуитивно кажутся им осмысленными привязанными к внутреннему или внешнему миру.

Однако природа логико-математического знания такова, что побуждает анализировать любые создаваемые математические структуры — не зависимо от того, что именно вызвало их создание. Результаты математическойработы никогда не оцениваются по непосредственной пользе, которая обычно вообще
отсутствует. Оценивается красота найденного приема доказательства, возможность использования этого приема в других исследованиях, логическая завершенность и строгость изложения, что математики живут в реальном социокультурном мире, а этот мир так или иначе стимулирует исследование тех
структур, которые имеют ценность за пределами чисто внутренних математических интересов. Люди всегда хотят делать надежные, не приводящие к противо­речию выводы, потому не развитых логических и математических структур им не обойтись. Некоторые из математических структур оказались к тому же удивительно хорошо приспособлены для
формулировок физических законов и выведения из этих законов проверяемых следствий.

Логические рассуждения применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Они нужны и в обыденном познании для того, чтобы обосновывать себе и другим собственные неочевид­ные идеи, так как очевидные идеи обычно просто не требуется обосновывать. Основной вопрос, на который мы при этом отве­чаем: правильно ли в процессе доказательства одни высказыва­ния были преобразованы в другие высказывания? Если преобра­зования были сделаны правильно, то критиковать полученный в итоге вывод нелепо, даже если сам этот вывод кажется интуитив­но неверным или бессмысленным.

В науках логико-математического круга требование непротиворечивости является абсолютно обязательным и практически единственным. Вводится некий набор терминов, а затем произвольным образом задается структура операций с этими терминами. Признаются корректными только те из структур, которые при любых заданных операциях не смогут привести к противоречию. Приведу простое рассуждение, оспаривающее аксиому транзитивности (если А=В и В=С, то А=С). Пусть интенсивность раздражителя А меньше интенсивности раздражителя В на величину, наполовину меньше порога различения. Интенсивности этих раздражителей тем самым субъективно не отличаются друг от друга, т.е. А=В. Пусть интенсивность раздражителя В, в свою очередь, на туже величину меньше интенсивности раздражителя С. Соответственно, субъективно и В = С. Но при этом различие между А и С достигает пороговой величины, следовательно, эти раздражители воспринимаются как субъективно неравные, т.е. А<С. Значит, аксиома транзитивности не всегда верна. В чем же тогда непреложность очевидности этой аксиомы? Предвижу возражение: в примере речь идет о субъективном равенстве, а аксиома, мол, говорит о равенстве объективном. Отвечаю вслед за Гераклитом и Платоном: объективного равенства вообще нет в природе. Даже в одну и ту же реку нельзя войти дважды. Если говорят, что А=В, то это, очевидно, означает лишь субъективное приравнивание друг к другу двух разных А и В — ведь А и по обозначению, и по сути изначально не есть В. Математика исторически появляется в рамках мистического познания, когда посвященные начинают дарить своим ученикам свет Истины. Они учат их выводить из заведомо очевидных, а следовательно, Истинных высказываний (аксиом) по заведомо очевидным Истинным правилам вывода новое Истинное знание и тем самым описывают, как они полагают, Истинную гармонию мира. Неожиданно выясняется, что полученный в итоге результат может и не обладать свойством очевидности. Норма: если все преобразования делать правильно, то и результат преобразований будет правильным, даже если он будет казаться непонятным. Архимед был потрясен тем, что объем шара, вписанного в цилиндр, в точности равен ²/₃ объема цилиндра. Чем субъективно неожиданнее, тем интереснее. Так появляется специфическая интеллектуальная игра (интереснее шахмат и Олимпийских игр), победителем в которой выступает тот, кто раньше других обнаружит неведомое. Считается, что Фалес был первым, кто превратил математику (геометрию) в такую игру. В XIX в. стало появляться предчувствие, что единственно Истинных аксиом и несомненно достоверных Истинных правил вывода вообще не существует. Но тогда в принципе можно придумывать любые аксиомы и создавать любые правила игры. Создание новых логических и математических структур есть лишь создание правил новых математических игр, где одни признанные аксиоматически правильными высказывания преобразуются в другие. Важно лишь, чтобы и аксиомы, и правила для самих играющих были однозначны и не приводили в итоге к противоречию. Ведь если один игрок играет по одним правилам, а другой — по другим, или если один игрок одновременно должен делать два разных, не совместимых друг с другом действия, то игры не получится. Сами по себе разные игры отнюдь не обязательно должны быть согласованы между собой и взаимно непротиворечивы. Как правило, и логики, и математики конструируют и развивают такие структуры, которые интуитивно кажутся им осмысленными, привязанными к внутреннему или внешнему миру. Природа логико-математического знания такова, что побуждает анализировать любые создаваемые математические структуры — не зависимо от того, что именно вызвало их создание. Результаты математической работы никогда не оцениваются по непосредственной пользе, которая обычно, впрочем, вообще отсутствует. Оценивается красота найденного приема доказательства, возможность использования этого приема в других исследованиях, логическая завершенность и строгость изложения и т.п. Некоторые из математических структур оказались к тому же удивительно хорошо приспособлены для формулировок физических законов и выведения из этих законов проверяемых следствий. Любое естественнонаучное утверждение должно быть написано на каком-нибудь языке, а математика — это универсальный язык для непротиворечивого, однозначного и тождественного преобразования высказываний, а потому вообще самый надежный, самый корректный язык, который только может существовать. Только на этом языке можно надежно сделать достаточно сложное и при этом заведомо непротиворечивое описание мира. Для самих же математиков — это единственно употребимый язык для описания действий с придуманными ими же самими объектами, которых в реальности заведомо не существует. Логические рассуждения применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Они нужны и в обыденном познании для того, чтобы обосновывать себе и другим собственные неочевидные идеи, так как очевидные идеи обычно просто не требуется обосновывать. Основной вопрос, на который мы при этом отвечаем: правильно ли в процессе доказательства одни высказывания были преобразованы в другие высказывания? Если преобразования были сделаны правильно, то критиковать полученный в итоге вывод нелепо, даже если сам этот вывод кажется интуитивно неверным или бессмысленным.