Дифференциальное уравнение нагревания и остывания эл. аппаратов. Его решение

Допустим, что проводник с током имеет одинаковую t по всему сечению (бесконечно большая теплопроводность материала) и длине (бесконечный длинный проводник), выделяемая в проводнике мощность определяется джоулевыми потерями, а теплоотвод с боковой поверхности описывается формулой Ньютона. Тогда уравнение баланса энергии имеет вид:

Po(1+λ₀(Т-Т0)dt = CdT + КтSo(T-To)dT, где Po= I²*R,I – ток,Ro- сопротивление провода при температуре То,T –t проводимость, То – t окр.среды, λ₀ –t-ый коэфф. сопр. при То;

С – общая теплоёмкость проводника, Кт – коэфф. теплоотдачи, So – поверхность охлаждения. При при независимых от t величинах С и Кт с введением обозначения для превышения t Q = T-To, получим уравнение. Po(1+ λQ) = КтSoQ + СdQ/dt; Которое приводится к неоднородному диффер. уравнению: dQ/dt +(Q*Кт*So- λ₀Po)/C = P/C (3)

Общее решение этого уравнения Q=Q1+Q2, где Q1 – общее решение однородного уравнения.

(1) dQ/dt + (Q Кт*So- λ₀Po)/C = 0, где Q- частное решение неоднородного уравнения. Rt = C/(КтSo- λ₀Po) – постоянная времени. Общее решение уравнения (1) Q1= Aexp(-t/ τt), частное решение Q2=> Q2 = Po/КтSo- λ₀Po; Общее решение уравнения: Q(t) = Aexp(-t/ τt) + Po/КтSo- λ₀Po (2); Постоянная интегрирования А определяется из начального условия, при t=0=>подставив (2); Решение уравнения (3)=> Q(t) = Q(o)exp(-t/ τt) + Po(1-exp(-t/ τt)/(КтSo- λ₀Po)

Уравнение будет иметь физический смысл при t>0.

18) Постоянная времени нагрева электрического аппарата, её расчёт по экспериментальным данным.

τt =С /(Кт*So- λ₀To) – постоянная времени. Расчёт по экспериментальным данным можно определить, если мы знаем кривую нагрева от начальной t до установки значения. Эта кривая достаточно близко описывается уравнениями.

Q(t)=Q(o)exp(-t/ τt) +Qy(1-exp(-t/ τt)), пусть t= τt, найдём, что за время, равное постоянной вращения τt, превышение t достигнет значения.

Q(τt) = Q(o)/e + Qy-Qy/e, при е≈3=> Q(τt)=Qy-[Qy-Q(o)]/3=Qy – [Ty-T(o)]/3.

За время, равное пост. времени, аппарат достигнет превышения t, которая меньше установившегося прерывания на ⅓ равности температур установившейся и начальной.