Аналитический способ

Аналитический способ вычисления площади полигона по координатам его вершин. При этом удобно использовать формулы, в которые наряду с координатами точек входят приращения координат:

.

где x_i, x_i+1 – координаты предыдущей и последующей точек стороны хода; Δy_i – приращения координат по стороне хода.

Вычисления ведут на основе ведомости вычисления координат, в которой имеются все элементы, входящие в формулу. Расчеты по этой формуле позволяют выполненять постоянный контроль произведений по строкам исходя из следующих соображений:

.

Этот способ является наиболее точным, так как на точность вычисления площади влияют лишь погрешности угловых и линейных измерений на местности.

Аналитический способ вычисления площадей по результатам измерений длин линий и углов на местности. Для учета площадей под строениями, усадьбами, полями вспашки, посевов и т.п., имеющих прямолинейные очертания, выделяют геометрические фигуры (треугольники, прямоугольники, трапеции, многоугольники), элементы которых известны (рис. 5). Площади каждой фигуры определяют по формулам геометрии, приведенным ниже.

Треугольник (рис. 5, а):

= – формула Герона,

где р = 0,5 (d₁ + d₂ + d₃), d₁, d₂, d3 – стороны треугольника;

; ,

где β₂ – угол между сторонами d₁ и d₂, h – высота треугольника.

Трапеция (рис. 5, б):

,

где d₁, d₂ – основания трапеции, h – высота трапеции.

Четырехугольник (рис. 5, в, г):

,

где (рис. 5, в) d₁, d₂, β₂ и d₃, d₄, β₄ – соответственно по две стороны четырехугольника и углы между ними;

,

где элементы фигуры показаны на рис. 31, г.

Пятиугольник (рис. 5, д):

.

Шестиугольник (рис. 5, е):

7.2. Графический способ.

Изображенные на плане участки разбивают на простейшие геометрические фигуры, обычно на треугольники, реже на прямоугольники и трапеции. В каждой фигуре по плану измеряют высоту и основание, по которым вычисляют площадь; сумма площадей фигур дает площадь участка.

Оптимальным вариантом разбивки участка на треугольники будет тот, при котором треугольники получаются примерно равносторонними, т.е. когда их высоты по величине близки к основаниям. Если отдельные элементы фигур известны из измерений на местности (например, стороны теодолитных ходов), то для повышения точности определения площадей в расчетах принимают измеренные на местности их значения. Для контроля и повышения точности площадь треугольника определяют дважды: по двум различным основаниям и высотам. Расхождение между двумя значениями площади фигуры не должны превышать

,

где М – знаменатель численного масштаба; S_га – приближенное значение площади фигуры.

Если расхождение допустимо, то за окончательное значение площади фигуры принимают среднее арифметическое.