Пример выполнения лабораторной работы

Задание:для набора параметров

получить фазовые портреты, соответствующие различному поведению систем

·

·

·

·

При данных параметрах получаем 4 колебательных системы.

Теоретический расчет:

Рассмотрим однородное (автономное) уравнение. Найдем его решение (1).

(1) - это ДУ с разделяющимися переменными.

 

Общее решение автономного уравнения имеет вид:

 

Применим метод вариации произвольной постоянной:

 

- этот интеграл является циклическим интегралом (два раза интегрируем его по частям):

 

 

Введем переменную , тогда:

 

 

Подставим полученное C(t) в общее решение автономного уравнения:

- общее решение неавтономного уравнения.

После алгебраических и тригонометрических преобразований приведем решение к виду (9).

 

 

Компьютерное моделирование:

В Mathcad решение дифференциальных уравнений выполняется с помощью функции Odesolve. Эта функция требует записи вычислительного блока, состоящего из трех частей:

1. ключевого слова Given (Дано);

2. дифференциального уравнения и начальных или граничных условий к нему;функции оdesolve(x, xk) (решение ОДУ), где x – имя переменной, относительно которой решается уравнение, xk – конец интервала интегрирования (начало интервала интегрирования указано ранее, в начальных условиях)

Вывод:исследовалось виляние параметров дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами на решение

Данная система моделировалась в Mathcad при значении

По результатам компьютерного моделирования получаем, что:

• при решение x(t) устойчиво (рисунок 2, 3, 6, 7)

что объясняется наличием в решении слагаемого - убывающей экспоненты

 

• при решение x(t) неустойчиво (рисунок 1, 4, 5, 8)

что объясняется наличием в решении слагаемого - возрастающей экспоненты

)