Студопедия — Жесткие задачи
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Жесткие задачи






Некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения (ДУ) не решаются ни одним из рассмотренных методов. Чтобы понять, почему это так, рассмотрим структуру ДУ. В общем случае ДУ n-го порядка имеют n постоянных времени. Если одна из постоянных времени достаточно мала по сравнению с шагом интегрирования, то задача называется жесткой и ее трудно решить обычными методами. В таких случаях шаг должен быть достаточно мал, чтобы можно было учитывать изменения наиболее быстроизменяющихся членов уравнения. В противном случае решение становится неустойчивым. Если величина шага очень мала по сравнению с интервалом, на котором отыскивается решение, то для получения решения потребуется очень много времени. А накапливающиеся в процессе длительных вычислений погрешности округления могут привести к получению бессмысленного результата. Рассмотрим, например, систему:

Если u(0) = v(0) =1, то решением будут (рис.3.7):

Рис. 3.7. Решение системы уравнений

После очень небольшого промежутка времени решение весьма близко к фун-кциям:

Предположим, что мы должны решить эту систему посредством метода Эйлера. Дискретное решение можно записать формулой:

где u0= v0=1.

Если выбрать h = 0,02, то:

Рис.3.8. Семейство решений

Если сделать еще несколько шагов интегрирования, то результаты примут катастрофический характер. Это явление можно представить себе визуально, рассматривая семейство решений ассоциированных с u(t) (рис.3.8).

Переходная часть решения, которая, казалось бы, давно уже практически исчезла, тем не менее, мешает увеличить длину шага. Это особенно досадно, потому что на данном этапе вычислений решение очень гладко и, казалось бы, можно увеличить шаг.

Рис.3.9. Работа неявного метода Эйлера

Большинство стандартных методов не приспособлено для решения жестких уравнений. Поэтому были изобретены специальные методы. Простейшим из них является так называемый неявный метод Эйлера, выражаемый формулой:

Работу неявного метода Эйлера покажем графически (рис.3.9).

Разработка эффективных методов для жестких уравнений является областью активных исследований.

 

назад







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 454. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Методы прогнозирования национальной экономики, их особенности, классификация В настоящее время по оценке специалистов насчитывается свыше 150 различных методов прогнозирования, но на практике, в качестве основных используется около 20 методов...

Методы анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия   Содержанием анализа финансово-хозяйственной деятельности предприятия является глубокое и всестороннее изучение экономической информации о функционировании анализируемого субъекта хозяйствования с целью принятия оптимальных управленческих...

Образование соседних чисел Фрагмент: Программная задача: показать образование числа 4 и числа 3 друг из друга...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия