Статистические модели динамики

Многие процессы в экологии могут быть представлены в виде
статистических моделей. Существует много различных причин тому, что факторы в этих процессах принимают случайное значение. Иногда
случайность предопределена самой физической сущностью явлений,
в других случаях сказывается неполнота информации оданной величине фактора или инструментарий не позволяет исследователю
получить всю необходимую информацию. Наконец, неопределенность может возникнуть потому, что модель действительного процесса выбрана с большими допущениями или ошибками.

Статистическая модель в общем виде может быть представлена схемой (рис. 13.7), где X(t) — вектор входных параметров,
Y(t) — вектор выходных параметров. Величины Х и Y рассматриваются здесь как функции времени t.

Рис. 13.7. Схема статистической модели

Если X(t) — случайная переменная на входе системы, а Y(t)—
случайная переменная на выходе системы, обусловленная перемен-
ной X(t), то модель процесса можно описать обыкновенным дифференциальным уравнением порядка n

(13.15)(5.15)

 

где Y⁽ⁿ⁾(t) = ? производная степени n от Y(t);

α_i — постоянные, не являющиеся случайными величинами.
В начальных условиях также присутствует элемент случайности

Y^(n-1) (0) = Y^(m-2)(0) =..... = Y(0) = 0. (13.16)(5.16)

Предположим, что требуется по известным данным на входе и
выходе системы найти значение Y(t) и ее автокорреляционную функцию, поскольку плотность распределения вероятности неизвестна.
Вычисляя математическое ожидание от обеих частей уравнения (13.15)(5.15)
и равенства (13.16)(5.16), и используя формулу для вычисления математического ожидания величины X(t)

(123.17)(5.17)

получаем

Д (13.18)(5.18)

(13.19)(5.19)

,

 

где α — некоторая постоянная.

Уравнения (5.18) и (5.19) являются детерминированной моде-
лью для μ_y и дают искомое решение для μ_y

, (13.20)(5.20)

 

где μ;_p(t) — частное решение неоднородного уравнения (13.18)(5.18), а остальные члены правой части равенства (13.20)(5.20) представляют собой общее решение соответствующего однородного уравнения.

Следовательно, если заданы математическое ожидание X(t)
и значения коэффициентов в уравнении (13.18)(5.18), можно найти детерминированное решение моделей, представленных на рис. 5.7.

Используя определение автокорреляционной функции

R_xx(t₁, t₂) = e{ X (t₁) X (t₂)},

 

можно показать, что

 

Следовательно,

 

(13.21)(5.21)

Автокорреляционную функцию R_YY(t₁,t₂) для Y(t) можно получить следующим образом. Сначала умножаем уравнения (13.15)(5.15) и (13.16)
(5.16) для t = t ₂на x(t₁)

;

(13.22)(5.22)

и вычисляем почленно, используя свойство (5.17), математическое ожидание от обеих частей этих равенств. В результате получим:

; (13.23)(5.23)

. (13.24)(5.24
)

Уравнение (13.17)(5.17) представляет собой обыкновенное дифференциальное урав-нение для R_XY (t₁,t₂) с независимой переменной t₂
параметром t ₁.

Таким образом, при условии, что автокорреляционная функция R_XX(t₁,t₂)
RRrrКккзадана, уравнения (13.23)(5.23) и (13.24)(5.24) можно использовать для
вычисления взаимной корреляционной функции R_XY(t₁,t₂)
RRrrКкк.
Затем умножим уравнения (5.15) и (5.16) для t =t₁, на Y (t₂)

Y (t₂)[ α;_n Y ⁽ⁿ⁾(t₁)+.....+ α;₀Y(t₁)] Y (t₂) X (t₁), (13.25)(5.25)

Y (t ₂) Y (0)=….= Y (t ₂) Y (0)=0 (13.26)(5.26)

и снова вычисляя математическое ожидание от обеих частей, получим обыкновенное дифференциальное уравнение R_YY(t₁,t₂).

(13.27)(5.27)

(13.28)
(5.28)

 

Для того чтобы найти R_YY(t₁,t₂), нужно решить уравнения (13.23)(5.23)
и (13.24)(5.24) для R_XY(t₁,t₂), предполагая, что функция R_XY(t₁,t₂) известна.
Затем подставить результат в правую часть уравнения (13.27)(5.27), которое после этого можно разрешить относительно искомой функции
R_YY(t₁,t₂) с учетом условия (13.28)(5.28).

Пример. Имеется резервуар, в котором загрязненная вода перемешивается с чистой и сбрасывается в реку. Объем резервуара V,
скорость подачи воды F, концентрация загрязняющих веществ на
входе в резервуар С₀ — случайная величина. На выходе концентра-
ция С — также случайная величина.

Вычислить среднее значение концентрации, дисперсию и ав-
токорреляционные функции, если концентрация раствора пред-
ставляет собой броуновскую случайную величину.

Р е ш е н и е. Концептуальная модель системы представлена
на рис. 13.8.

 

 

Рис. 13.8. Схема смесителя

Броуновское движение на молекулярном уровне оказывается
весьма сложным, но при макроскопическом рассмотрении важно
определить лишь математическое ожидание перемещения, отождествляемого со случайной величиной X(t). Если для одномерного движения начальное положение частицы принять равным нулю
X (0)=0, то одномерная плотность распределения вероятности определится выражением

 

 

где α — некоторая постоянная.

Типичный участок пути частицы показан на рис. 13.9. Математическое ожидание будет определяться по формуле (13.17)(5.17) при

 

где α — параметр плотности распределения вероятности дл С₀.

 

 

Рис. 13.9. Типичный участок пути частицы

Уравнения (13.22)(5.22) и (13.23)(5.23) для этой модели принимают вид
,

и имеют следующее решение

где t^* = V/F

 

Уравнения (5.27) и (5.28)

 

имеют решение

Таким образом, автокорреляционную функцию случайной функции на выходе резервуара можно вычислить даже в том случае, если
плотность распределения вероятности для этой функции неизвестна.

Более общей моделью является модель, содержащая систему
линейных (по зависимым переменным) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, например рис. 13.10.

 

 

Рис. 13.10. Схема многомерного процесса.

Запись в матричной форме имеет вид:

(13.29)(5.29)

где

Предположим, что смесь в смесителе содержит три
(см. рис. 5.8) компонента, вступающих в реакцию по схеме

k₁ k₂

А В С

 

где k_i — константы скоростей реакций. Тогда система уравнений и конкретные начальные условия в уравнении (5.29) примут вид

Пусть матрица X(t) задана априори, а величины Y₀, и а требуется

оценить во временном интервале 0 < t < t_n пo дискретным наблюдениям, представленным следующим соотношением

Y (t₁) =h (t ₁) y (t ₁) + ε(t ₁), , (13.30)(5.30)

 

где Y(t₁) — вектор-столбец n1;

h(t₁) — матрица nv, заданная априори;
е(t₁) — вектор -столбец n1 (вектор "шума"), элементами которого яв-
ляются ненаблюдаемые ошибки.

Решение модели (5.28) можно записать в форме

(5.31)

Например, решение модели с тремя химическими компонента-
ми в смесителе имеет вид

Подстановка решения (5.31) в соотношение (5.30) дает:

.

что можно представить в общей форме

.

Подобное выражение можно записать и для непрерывных наблюдений, просто опуская индекс i при t. Модель, содержащая одно или несколько линейных дифференциальных уравнений более высокого порядка с постоянными коэффициентами, можно преобразовать в модель, содержащую систему
обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

При оценке случайных процессов в экологии большое значение
играют выбросы за определенные значения времени и оценка их
вероятности.

Пусть имеется случайный процесс Х (t) (рис.5.11), где под длительностью выброса (t₀) понимается отрезок времени, в течение
которого X(t) превышает заданный уровень Х ₀. Представляет интерес
длительность интервала t₀ между выбросами, т.е. отрезок времени, в
течение которого X(t) не превышает уровня Х ₀.

Рис. 13.11. Пересечение случайным процессом заданного уровня

Вероятность пересечения уровня Х₀ снизу вверх (т.е. с положительной производной) в достаточно малом интервале времени ∆ t
совпадает с вероятностью неравенств

х ₀ — ∆х ≤ x (t)<х₀

Пусть ω₂(х, у, t) — двумерная функция распределения X (t) и
в совпадающий момент времени t.

Тогда

.

При достаточно малом ∆ t внутренний интервал можно заменить
выражением

ω₂(x ₀,y,t) ∆ x = y ω₂(x ₀,y,t) ∆ t

и тогда получим выражение

(5.32)

где

(5.33)

Рассмотрим интервал времени конечной длины (t, t +T) и
разобьем его на N не перекрывающиеся малые интервалы
(t_i, t _i + ∆ t _i ) с промежуточными точками t=t ₁< t ₂<... < t_{N +i}; ∆ t _i = t _i+1 - t _i.

Для каждого из указанных интервалов времени определим случайную величину v_i равную 1, если X (t) на интерва-
ле (t_i, t _i + ∆ t _i)пересекает уровень х₀ с положительной производ-
ной, и, равную нулю, если такого пересечения не происходит.
Эти случайные величины являются своеобразными счетчиками
пересечений. Ясно, что общее число пересечений на интервале
(t, t+T) равно:

Предполагается, что ∆ t _i столь мало, что вероятностью более
одного пересечения в это время можно пренебречь. Так как вероятность того, что v_i =1, определяется по формуле (5.32), то среднее
значение М₁(х₀, t, T) числа пересечений с положительной производной уровня х ₀на указанном интервале равно:

Переходя к пределу при N→∞, находим следующую формулу
для среднего числа пересечений уровня x ₀ с положительной производной на интервале (t, t+T)

или

,

Среднее значение числа пересечений уровня х ₀сположительной производной уровня х ₀в единицу времени (т.е. ) равно:

.

Если случайный процесс стационарен, то

.

Заметим, что среднее число пересечений с заданным знаком производной совпадает с числом выбросов случайного процесса.

Длястационарного случайного процесса дисперсия числа пе-
ресечений с положительной производной уровня х ₀в единицу
времени равна:

. (5.34)

Очевидно, что формула (5.34) определяет также и дисперсию
числа выбросов на заданном интервале в единицу времени соответственно. Если задана одномерная функция распределения случайного процесса — F ₁(х), то среднее значение длительности выбросов равно:

назад