Загальні поняття

Рівняння виду ах²+bx+c=0, де х – невідоме, а коефіцієнти a, b и c – дані числа, називається квадратним рівнянням. В квадратному рівнянні а ≠ 0, так як в іншому випадку воно було б лінійним рівнянням: bx+c=0. В той же час а може бути і позитивний і від'ємним. Якщо a <0, то помножив обидві частини на -1, отримаємо рівняння з позитивний коефіцієнтом при х². Коефіцієнт с називається свободний членом, ах² – старшим членом, bx – членом, що містить першу степінь невідомого.

Якщо b≠0 і с≠0, то рівняння ах²+bx+c=0 називається повним квадратним рівнянням загального виду. Розділив всі члени його на а(а ≠ 0), отримаємо

x+b/a x+c/a =0 (3.1)

Допустимо =p, =q, маємо рівняння x²+px+q=0, яке називається квадратним рівнянням приведеного виду або приведеним квадратним рівнянням. Якщо хоча б один із коефіцієнтів b або с дорівнює нулю, то квадратне рівняння називається неповним. Неповні квадратні рівняння бувають трьох видів:

якщо b=0, с≠0, то ах²+с=0;

якщо b ≠0, с =0, то ах²+bx=0;

якщо b=0, с=0, то ах²=0.

Квадратне рівняння виду ах²+bx+c=0 можна розв’язати по формулі коренів приведеного рівняння, якщо дане рівняння попередньо розділить на а (а ≠0). Проте, можна користуватися і спеціальною формулою:

 

(3.2)

(3.3)

Вираз D, вхідні в цю формулу під радикалом, називають дискримінантом квадратного рівняння загального виду.

Якщо D >0, рівняння має два різних дійсних кореня.

Якщо D=0, то рівняння має два однакових кореня:

 

х₁=х₂= . (3.4)

 

Якщо D<0, то рівняння не має кореня (дійсних).