Динамика систем многих частиц

Задачи молекулярной физики:

1. Исследование строения вещества и его изменение под влиянием внешних

воздействий;

2. Изучение явлений переноса- диффузии, теплопроводности;

3. Изучение фазовых превращений;

4. Исследование критических явлений;

5. Исследование поверхностных явлений на границах раздела фаз.

Практически все эти вопросы поддаются исследованию методами компьютерной физики.

Сформулируем более узкую задачу: как можно исходя из известных межмолекулярных взаимодействий вычислять макроскопические параметры (температуру, давление, теплоёмкость), и качественно объяснить свойства газов, жидкостей, а возможно даже и твёрдых тел?

Можно задачу решать «в лоб», моделируя взаимодействие частиц, но ни один суперкомпьютер, пока не в состоянии справиться с такой задачей.

Оказывается, для описания поведения системы с частиц достаточно исследовать поведение частиц, совершающих хаотическое движение и свободно пересекающих границы ячейки, в которой они находятся.

Для решения задачи требуются лишь численные алгоритмы интегрирования уравнений Ньютона (Лагранжа, Гамильтона).

Существуют два подхода:

1. Детерминистические методы (метод молекулярной динамики МД).

2. Стохастические методы (вероятная эволюция системы МК).

 

2.1.1. Потенциал межмолекулярного взаимодействия.

Сначала нужно определить физическую модель системы. Будем считать, что динамику взаимодействий можно считать классической, а молекулы химически инертными шариками. Кроме того взаимодействие не зависит от ориентации молекул – используется модель одноатомной среды.

Сила взаимодействия между атомами зависит только от расстояния между ними:

,

можно получить на основании квантомеханических расчётов, но это трудная задача, обычно используют феноменологическую формулу

- потенциал Леннарда-Джонса,

при преобладает притяжение за счёт взаимной поляризации, сила Ван-дер-Ваальса

 

U

В дальнейшем для вычисления в безразмерной форме: скорость в единицах , а время , t в единицах , например для аргона , , , , диаметр молекулы .

 

 

0 1 1.12

 

 

 

0 1.24

 

 

 

Уравнение движения можно переписать в виде:

, или ,

обозначая , или , получим , это уравнение и будем решать численно.

2.1.2. Краевые условия.

Одна из проблем - это поверхностный эффект, который усиливается при уменьшении числа частиц. Например, для сферического резервуара доля частиц в слое, толщиной d у стенки

- уменьшается, но медленно, с ростом N.

Одним из способов минимизации поверхностных эффектов заключается в использовании периодических краевых условий, при этом устраняется влияние граней и создаётся квазибесконечный объём.

Рассматриваем движение частиц только в одной ячейке.

		Если частица вылетает из ячейки, то её копия влетает через противоположенную сторону. Вследствие быстрого убывания сил можно принять правило: частица взаимодействует только с ближайшей копией другой частицы Очевидно, что пренебречь остальными взаимодействиями можно если , т.е. (при этом погрешность или отн.ед. при вычислении не более 2%).

 

Выбор начальных условий:

Частицы можно располагать хаотически или, наоборот, регулярно в узлах прямоугольной или треугольной сетки. Скорости выбирают случайным образом на отрезке . Затем следует перенормировка скоростей, чтобы полный импульс стал равен нулю

кроме того, если задана температура, то необходимо снова корректировать скорости, он это уже интеграционный алгоритм, т.к. определяется после достижения теплового равновесия.