Механические волны

Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной.

В волновом процессе имеет место следующее соотношение:

λ = vT,

где λ – длина волны, Т – период колебаний,

v – скорость распространения волны (фазовая скорость).

Уравнение плоской волны имеет вид:

S = Acos(ωt – r/v)=Acos(wt- kr), где

S– смещение колеблющейся точки от положения равновесия,

A – амплитуда колебаний, ω –циклическая частота колебаний (w = 2π/T),

k= r/v = 2 π/ λ – волновое число,

r – расстояние, пройденное волной от источника колебаний до рассматриваемой точки.

Разность фаз двух колеблющихся точек, находящихся на расстояниях r₁ и r₂, от источника колебаний, равна:

Δj=j₂-j₁= -(2 π/ λ)(r₁-r₂)= -(2 π/ λ)(r₁-r₂)= -(2 π/ λ) Δ,

где Δ = r₁-r₂ – разность хода волн.

Примеры решения задач по теме «Механические колебания и волны»

(Номера задач в скобках соответствуют сборнику задач по курсу физики Трофимовой Т.И.)

Задача №1 (4.3). Материальная точка совершает гармонические ко­лебания с амплитудой А = 4 см и периодом Т = 2 с. На­пишите уравнение движения точки, если ее движение на­чинается из положения х₀ = 2 см.

 

Дано: A = 4 см = T = 2 с t0 = 0 x0 = 2 см =	4∙10-2 м     2∙10-2 м	Решение: Уравнение гармонических колебаний: x = A cos(wt+j0). Связь циклической частоты и периода колебаний: w = 2π/T= 2π/2=π с-1
x(t) -?
При t0 = 0: x = A cos(j0) а, с другой стороны, x|t = 0= x0. Отсюда x0= A cos(j0). Тогда φ0 = arccos(x0/A)= arccos(1/2)= π/3. Подставляя численные значения A, ω и j0, получим требуемое уравнение движения точки: x = 0,04 cos(πt+π/3).
Ответ: x = 0,04 cos(πt+π/3).

Задача №2 (4.25). На горизонтальной пружине жесткостью k = 900 Н/м укреплен шар массой М = 4 кг, лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без тре­ния (рис. 73). Пуля массой m = 10 г, летящая с горизон­тальной скоростью v₀ = 600 м/с и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, по­пала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пру­жины и сопротивлением воздуха, определите:

1) ампли­туду колебаний шара; 2) период колебаний шара.

Дано: k = 900 Н/м M = 4 кг m= 10 г = v0 = 600 м/с	10-2 кг
A -? T -?
Решение: Удар пули о шар является абсолютно неупругим и для него справедлив закон сохранения импульса: P1+P2=P’. Здесь ось x направлена вдоль оси пружины в сторону полета пули; P1=mv0 – импульс пули до удара; P2=0 – импульс шара до удара; P’=(M+m)u – импульс шара с застрявшей пулей после удара; u – скорость шара с пулей после удара. Таким образом, mv0=(M+m)u. Откуда u=mv0/(M+m). Кинетическая энергия шара с пулей после удара: Ek0=(M+m)u2/2=m2v02/(2(M+m)). Под действием полученного при ударе импульса пуля с шаром, укрепленным на пружине, совершают колебания. При пренебрежении силами трения эти колебания являются гармоническими колебаниями пружинного маятника, период колебаний которого: T=2π∙((M+m)/k)1/2=2∙3,14∙((4+0,01)/900)1/2≈6,28∙2/30≈0.419 c. Из закона сохранения энергии, справедливого для гармонических колебаний: Ek0=E=Epot.max. где E – полная механическая энергия маятника; Epot.max – максимальная потенциальная энергия маятника (Epot.max= A2k/2, A – амплитуда колебаний). Отсюда: m2v02/(2(M+m))= A2k/2. A=mv0/((M+m)k)1/2=10-2∙600/((4+0,01)900)1/2≈6/(2∙30)=0,1 м.
Ответ: A = 0,1 м; T=0,419 c
Задача №3 (4.28). Однородный диск радиусом R= 20 см колеблет­ся около горизонтальной оси, проходящей на расстоя­нии l =15 см от центра диска. Определите период T ко­лебаний диска относительно этой оси.
Дано: R =20 см = l = 15 см =	0,2 м 0,15 м	Решение: Диск, колеблющийся относительно оси, не проходящей через центр масс, представляет собой физический маятник.
T-?
Период колебаний физического маятника T=2π∙(Jo/(mglc))1/2, где Jo – момент инерции относительно этой оси; m – масса диска; lc= l – расстояние от оси до центра масс. В соответствии с теоремой Штейнера Jo=Jc+ml2, где Jc – момент инерции относительно центра масс (центра диска). Так как для диска Jc=mR2/2, то окончательно получим T=2π∙((mR2/2+ml2)/(mgl))1/2=2π∙(((R2/(2l))+l)/(g))1/2= =2∙3,14∙((0,22/(2∙0,15)+0,152)/9,81)1/2=1,07 с
Ответ: T=1,07 с

Задача №4 (4.118). Волна распространяется в упругой среде со скоростью v = 150 м/с. Определите частоту ν колеба­ний, если минимальное расстояние Δx между точками среды, фазы колебаний которых противоположны, рав­но 0,75 м.

Дано: v =150 м/c Δx = 0,75 м	Решение: Для бегущей волны фазы колебаний противоположны, если точки среды расположены на расстоянии (2∙n+1)∙λ/2, где n любое целое, λ – длина волны.
ν-?
Отсюда следует, что Δx=λ/2 и λ=2∙ Δx. Длина волны, скорость распространения и частота связаны следующим соотношением: λ= v/ ν. Отсюда ν= v/ λ= v/(2∙ Δx)=150/(2∙0,75)=100 Гц.
Ответ: ν=100 Гц