Гипотеза о виде распределения

гипотеза о виде распределения

Пусть имеется выборка наблюдаемой случайной величины с функцией распределения .

а) Простой гипотезой является утверждение : = , где полностью задана.

б) Сложной гипотезой является утверждение :

Для проверки гипотезы о виде распределения используются критерии: Колмогорова, Смирнова, и Мизеса (при негруппированных наблюдениях), Пирсона, отношения правдоподобия (при группированных наблюдениях).

Пример 2.1

Дана выборка объема :

Требуется проверить гипотезу о согласии данной выборки с законом Пуассона.

Решение

Зададимся уровнем значимости .

Поскольку распределение случайных величин является дискретным, для проверки гипотезы о согласии воспользуемся критерием Пирсона.

, .

ОМП для параметра является . Для данной выборки . Тогда , , , , , , .

Статистика Пирсона:

В случае оценивания по данной выборке параметров распределения статистика Пирсона подчиняется -распределению с степенью свободы, где – число групп. В данном случае число степеней свободы равно . Находим по таблице из приложения 3 критическое значение статистики Пирсона при : . Поскольку , то гипотеза о согласии данной выборки с распределением Пуассона отвергается. Отметим, что если , то гипотеза о согласии не отвергается.

Пример 2.2

В следующей таблице представлены результаты измерений длин чайных ложечек в сантиметрах.

9.65	9.05	9.20	9.79	6.69	9.14	9.93	11.95	10.20	10.21
8.58	9.82	11.75	9.05	12.31	10.47	10.10	8.40	10.77	10.19
8.78	10.36	7.30	11.03	12.47	11.06	10.31	7.43	9.87	10.29
9.41	10.37	9.52	10.15	5.36	11.02	8.52	8.34	10.94	9.33
10.01	9.87	9.43	8.27	10.34	9.48	9.61	10.95	10.01	9.86

Требуется проверить гипотезу о согласии данной выборки с распределением Лапласа.

Решение

Зададимся уровнем значимости .

Поскольку мы имеем непрерывную случайную величину, то для проверки гипотезы о согласии воспользуемся критерием типа Колмогорова, статистика которого имеет вид: , где , , . Объем выборки , – упорядоченные по возрастанию выборочные значения, – функция распределения Лапласа.

Для нахождения ОМП параметров распределения воспользуемся программной системой ISW 4.0 [10]: , .

Вычисляем значение статистики Колмогорова . Находим по таблице из приложения 5 критическое значение статистики Колмогорова при : . Поскольку , то гипотеза о согласии данной выборки с распределением Лапласа не отвергается.