Решение. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью (n=3)

Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью (n=3). Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ=240/24=10 (заявок/час), а поток обслуживании — интенсивность μ=1/t=60/7=8.57(заявок/час). Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Система может находиться в одном из состояний S₀, S₁, S₂,…, S_k,…, S_n,…,— нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S₀ — в системе нет заявок (все каналы свободны); S₁ — занят один канал, остальные свободны; S₂— заняты два канала, остальные свободны; S₃— заняты все 3 канала (очереди нет); S₄— заняты все 3 канала, в очереди одна заявка;..., S_3+r— заняты все 3канала, r заявок стоит в очереди,....

Граф состояний системы показан на рисунке ниже. Обратим внимание на то, что в отличие от предыдущей СМО, интенсивность потока обслуживаний (переводящего систему из одного состояния в другое справа налево) не остается постоянной, а по мере увеличения числа заявок в СМО от 0 до n увеличивается от величины m до nm, так как соответственно увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО большем, чем n, интенсивность потока обслуживании сохраняется равной nm.

Граф состояний системы

 

Поскольку ограничение на длину очереди отсутствует, то любая заявка может быть обслужена, поэтому Р_обс = 1, следовательно, относительная пропускная способность Q = Р_обс = 1 => Р_отк = 0, a абсолютная пропускная способность A = λQ = λ.

Cреднее число занятых каналов:

Так как ρ < n, то очередь не будет возрастать до бесконечности и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

Найдем вероятность того, что все аппараты свободны:

Вероятность того, что заняты 1, 2 и 3 аппарата:

 

Вероятность того, что заявка окажется в очереди:

Средняя длина очереди

 

Среднее время ожидания в очереди:

 

Cреднее число заявок в системе

Среднее время пребывания заявки в СМО:

То есть в стационарном режиме работы междугородного переговорного пункта в среднем 30% времени нет ни одной заявки, 36% - имеется одна заявка, 21% - две заявки и 8% времени – три заявки (заняты все аппараты).

Вероятность отказа в обслуживании Р_отк = 0.

Относительная пропускная способность центра Q=1.

Абсолютная пропускная способность A=λQ=10, то есть в один час в среднем обслуживается 10 заявок.

 

 

Взято отсюда http://narfu.ru/university/library/books/1163.pdf стр. 67