Практика. 1. Закон сохранения материи

Практика

1. Найти f(A), если
2. Даны матрицы , , . Найти B^TC – 5А.
3. Найти обратную матрицу методом вспомогательной матрицы: .
4. С помощью теоремы Кронекера-Капелли доказать совместность системы линейных уравнений и решить систему тремя способами: 1) правилом Крамера; 2) средствами матричного исчисления;3) методом Гаусса:
   1) ; 2) ; 3) .
5. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами А(-1;-2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1).
6. Даны векторы , и . Вычислить .
7. Даны две силы: и . Найти величину и направление равнодействующей силы . Построить равнодействующую силу.
8. Известно, что параллелограмм построен на векторах и . Найти его площадь, если .
9. Найти вектор , коллинеарный вектору , удовлетворяющий условию .
10. Заданы векторы . Найти координаты вектора .
11. При каком векторы будут компланарны, если .
12. Показать, что векторы , и компланарны. Разложить вектор по векторам и .
13. Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.
14. Даны координаты вершины пирамиды А₁(3;5;4), А₂(5;8;3),
    А₃(1;9;9), А₄(6,4,8). Требуется найти:

a. длину ребра А₁А₂;

b. угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄:

c. площадь грани А₁А₂А₃;

d. объём пирамиды.

1. Даны векторы .
   Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) ; д) ;
   е) напр. косинусы ; ж) .
2. Известно, что .
   Вычислить: а) ; б) ; в) ; г) .
3. Найти общее, параметрическое уравнения прямой, проходящей через точку А (1;2)
4. параллельно прямой линии . Найти угловой коэффициент прямой.
5. Определить, какая линия задана уравнением и построить её:
1. ; с.
2. ; d) ; e)
6. Найти длину хорды эллипса , проходящей через его фокус параллельно малой оси.
7. Найти каноническое уравнение гиперболы, если , расстояние между фокусами равно 6.
8. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой с осью абсцисс.
9. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(1; -1; 2) и перпендикулярной вектору . Определить, лежит ли точка М (1; 0; 2) на плоскости.
10. На оси Оx найти точку, равноудалённую от точки А(1; ;0) и от плоскости .
11. Найти канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку М(1;2;0) параллельно прямой .
12. Найти общее уравнение плоскости, проходящей через точку А(1;5;2) параллельно плоскости . Определить, лежит ли точка М (1;0;2) на полученной плоскости.
13. Найти точку пересечения прямой с плоскостью .
14. Найти точку пересечения прямых, заданных уравнениями и и угол между прямыми.
15. Установить как расположена точка А(2;-1;3) относительно сферы – на сфере, внутри неё или вне: .
16. Найти расстояние между прямыми и .
17. Найти координаты проекции точки М(2;2;-2) на плоскость .
18. Найти синус угла между прямой и плоскостью .
19. Определить уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и составляющей с плоскостью угол 60⁰.
20. Установить тип заданных поверхностей и построить их

1) ; 6) ;

2) ; 7) ;

3) ; 8) ;

4) ; 9) ;

5) ; 10) .

35. Построить тело, ограниченное поверхностями .

36. Найти полярные координаты точек А (-5; 0) и В(-1; 5).

37. Найти пределы числовых последовательностей или установить их расходимость:

1) . 2) . 3) .

 

38. Вычислить предел функции:

1) ; 6) ; 11) ;

2) ; 7) ; 12) ;

3) ; 8) ; 13) ;

4) ; 9) ; 14) ;

5) ; 10) . 15) .

39. Исследовать на непрерывность и построить график функции: .

40. Исследовать функцию на непрерывность и найти точки разрыва, если f(x)= .

41. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

42. Найти производные функций: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8)

9) .

43. Продифференцировать неявно заданную функцию: .

44. Продифференцировать функцию, заданную параметрически: 1) ; 2) .

45. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования:1) ; 2)

46. Найти вторую производную функции .

47. Найти: , если .

48. Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

49. Найти асимптоты графика функции и точки разрыва.

50. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию .

51. Исследовать функцию и построить схематически её график.

52. Провести полное исследование функции и построить её график:

1) ; 2) ; 3) ; 4)

 

53. Одна сторона прямоугольного участка земли примыкает к берегу канала, а три другие огораживаются забором. Каковы должны быть размеры этого участка, чтобы его площадь равнялась 800 м², а длина забора была наименьшая?

54. В прямоугольном листе картона длиной 48 см и шириной 30 см вырезаются по углам одинаковые квадраты и из оставшейся части склеивается открытая прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемых квадратов, чтобы объём коробки был наибольшим?

 

55. Найти неопределённые интегралы:

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. ; 10. ; 11) ; 12) ;13) ; 14) ; 15) ; 16) 17)

 

56. Вычислить определённые интегралы:

. 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) ; 8) ; 9)6; 10) .

57. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) .

58. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1) .

2) .

3) .

4) , и осью ;

59. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

1) .

2) .

3) .

4) .

5)

60. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

61. Найти длину дуги кривых:

1) от начала координат до т. В(4;8).

2) .

3) .

4) длину дуги кривой от до .

Задача. При подготовке к экзамену студент за дней изучает часть курса, а забывает часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы студентом была освоена максимальная часть курса?