Нечеткая и интервальная формулировка модели

Идея преодоления проблемы операций над зависимыми нечеткими числами состоит в том, что число должно хранить не только свое текущее значение (включающее некоторым образом формализованную погрешность), но и информацию о том, из каких исходных данных и как это число было получено. Это дополнительно дает очень полезную в приложениях возможность анализа результатов численных экспериментов на предмет того, каким образом сказались на них заданные исходные данные. Однако буквальная реализация указанной идеи приводит к неадекватным затратам памяти и времени расчетов: фактически, нечеткое число превращается из значения в формулу зависимости значения от исходных данных; причем с каждым параметром этой формулы при арифметических операциях должны производиться сложные вычисления. Поэтому в целях экономии ресурсов нечеткое число предлагается представлять в виде линейной комбинации по нечетким числам — исходным данным.

Пусть R — множество всех вещественных чисел. Под

интервалом [а, b], а ≤ b, всюду ниже, если не оговорено

противное, понимается замкнутое ограниченное подмножество R вида

Множество всех интервалов обозначим через I(R). Элементы I(R) будем записывать прописными буквами. Если А — элемент I(R), , то его левый и правый концы будем обозначать как, В следующем пункте мы введем арифметические операции над интервалами, поэтому элементы I(R) называются также интервальными числами. Символы : и т. п. понимаются в обычном теоретико-множественном смысле, причем обозначает не обязательно строгое включение, т. е. соотношение допускает равенство интервалов. Два интервала А и В равны тогда, когда и

Отношение порядка на множестве I{R) определяется следующим образом: А < В тогда и только тогда, когда а < b. Возможно также упорядочение по включению: А не превосходит В, если . Мы, в основном, используем первое определение. Пересечение интервалов А и В пусто, если А < В или В <А, в противном случае = — снова интервал. Симметричным, по определению, является интервал , у которого . Шириной интервала А называется величина : = . Середина есть полусумма концов интервала . Абсолютная величина определяется как: . Наконец,

Арифметические операции над интервальными числами определяются следующим образом. Пусть * ^ {+, —, •. /}, . Тогда

причем в случае деления . Легко проверить, что определение эквивалентно соотношениям

Из определения видно, что интервальные сложение и умножение ассоциативны и коммутативны.