Теорема о производной обратной ф-ции

Пусть ф-ция строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки х. Пусть, кроме того, это ф-ция дифференцируема в указанной точке х и f ‘(x)≠0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x) определена обратная для y=f(x) ф-ция x=f^-1(y), причем указанная обратная ф-ция дифференцируема в соответствующей точке y=f(x) и для ее производной в этой точке справедлива формула (*) {f^-1(y)} ‘ = .

Док-во

1) Предварительно напомним условие теоремы об обратной ф-ции: Пусть ф-ция y=f(x)возрастает (убывает) и непрерывна на сегменте [a,b], и пусть 𝛼=f(a),𝛽=f(b). Тогда на сегменте [𝛼, 𝛽] (соответственно на сегменте [𝛽, 𝛼]) определена обратная для y=f(x)ф-ция x=f^-1(y), которая возрастает (убывает) и непрерывна указанном сегменте (*).

2) Т.к. ф-ция y=f(x) строго монотонна и непрерывна и непрерывна в некоторой окрестности данной точки х, то в силу (*) обратная ф-ция x=f^-1(y) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности соответствующей точки y=f(x).

3) Придадим аргументу этой обратной ф-ции в указанной точке произвольное достаточно малое и отличное от нуля приращение ∆y.

4) Этому приращению ∆y отвечает приращение ∆х=f^-1(y+∆y) – f^--1(y)обратной ф-ции в соответствующей точке y=f(x), причем в силу строгой монотонности обратной ф-ции указанное приращение ∆х отлично о нуля.

5) Это дает нам право написать следующее тождество (**): =

6) Пусть теперь в тождестве (**) приращение ∆у→0

7) Тогда в силу разности формы условия непрерывности обратной ф-ции x=f^-1(y) в соответствующей точке y=f(x) приращение этой ф-ции ∆х также стремится к нулю

8) Убедимся в том, что в таком случае ∃ предел правой части (**), равный величине, стоящей в правой части (*).

9) Этим будет доказано, что тот же самый предел имеет и левая часть (**), т.е. будет доказано, что обратная ф-ция имеет производную в соответствующей точке y=f(x) и для этой производной справедливо равенство (*).

10) jимеет предел при ∆х→0 равный , где х – данная точка.

11) Т.к. x=f^_1(y), ∆х=f^_1(y+∆y) – f^_1(y), т х+∆х=f^_1(y+∆y), т.е. y+∆y=f(х+∆х) и ∆y=f(x+∆x) --f(x)

12) Отсюда следует, что права часть (**) может быть переписана в виде .

13) Из последнего равенства в силу определения производной f ‘(x) и предположения f ‘(x)≠0 сражу же вытекает, что предел при ∆х→0 правой части (**) ∃ и равен . ↓;