Распределение Больцмана. Барометрическое распределение.

Теперь нормированную на число частиц функцию распределения Максвелла по скоростям в случае одномерного движения можно записать в виде: . Позже это распределение было проверено экспериментально и получило хорошее подтверждение в опытах Штерна и Герлаха.

Напомним, что рассматривалось одномерное движение. Для рассмотрения трехмерного движения надо вспомнить, что в силу независимости движения по ортогональным осям координат и опять провести нормировку на число частиц:

. Здесь перемножаются три одинаковых интеграла типа , так что новая постоянная нормировки .

Значит, в случае трехмерного движения функция распределения Максвелла имеет вид .

Уместно замечание о том, что в настоящее время чаще используют распределение не по скоростям, а по импульсам (тогда это распределение можно использовать в релятивистских задачах): . Эта функции распределения относится к случаю прямоугольной Декартовой системы координат. Однако часто удобнее использовать сферическую систему координат, считая, что , при этом по телесному углу можно проинтегрировать, что дает множитель , и тогда можно заменить множителем . Функция распределения в этом случае зависит от модуля скорости, изменяющемся в интервале . Такая функция называется функцией распределения Максвелла по модулям скоростей и имеет вид: .

Функцию распределения по модулям скоростей можно изобразить графиком (см. рис. 9)

A

Рис. 9. Распределение Максвелла модулям скоростей.

На рисунке 9 приближенное изображение функции распределения Максвелла для некоторой температуры T. Точка А – точка касания горизонтальной прямой – максимум функции . Этой точке соответствует наиболее вероятная скорость. Площадь под кривой определяет условие нормировки (1 или N). При повышении температуры максимум сдвигается вправо, становясь ниже, так что нормировка и площадь под кривой сохраняются.

При изучении распределения Максвелла по скоростям Больцман заметил, что в показателе экспоненты стоит отношение кинетической энергии к энергии . Это послужило основанием для обобщения распределения на случай, когда частица имеет потенциальную энергию. Такое распределение часто называют распределением Больцмана. В этом случае функция распределения может быть записана в виде: , где нормировка проводится по всем координатам, либо по указанной координатной области. Например, если рассматривается изотермическая атмосфера, находящаяся в равновесии, и потенциальная энергия частиц ансамбля равна: , где Z – высота над уровнем моря, то тогда . Нормировка может проводиться на плотность частиц в единице объема (на концентрацию частиц ) или на давление P(Z). Тогда говорят о барометрических распределениях, имеющих вид:

, .

Величины, имеющие индексы «0» – отмечают значения на уровне моря.

Аналогичным образом можно записать распределение гармонических осцилляторов по энергиям. Если считать, что энергия осциллятора равна: , то соответствующая функция распределения имеет вид: . Например, если рассматривается изотермическая атмосфера, находящаяся в равновесии, и потенциальная энергия частиц ансамбля равна: , где Z – высота над уровнем моря, то тогда . Нормировка может проводиться на плотность частиц в единице объема (на концентрацию частиц ) или на давление P(Z). Тогда говорят о барометрических распределениях, имеющих вид , . Величины, имеющие индексы «0» – отмечают значения на уровне моря.