Внутренняя энергия и теплоемкость кристалла. Закон ДебаяС учетом (4.12) внутренняя энергия кристаллического твердого тела равна , (4.13) где – энергия нулевых колебаний атомов в кристалле. Возьмем один моль вещества, тогда N = NA, и производная от U по T даст молярную теплоемкость кристалла: . (4.14) Величину θ, определяемую условием , называют характеристической температурой Дебая. По определению . (4.15) Температура Дебая указывает для каждого вещества ту область, где становится существенным квантование энергии колебаний. Введем также переменную . Тогда выражение для теплоемкости примет вид: , (4.16) где . Запишем также в этих обозначениях выражение для внутренней энергии кристалла . (4.17) В общем случае вычисление интегралов в выражениях (4.16) и (4.17) представляет большую трудность, однако, существуют два предельных случая, где вычисление их возможно. 1) При Т << θ верхний предел интеграла в (4.17) будет очень большим, так что его можно приближенно положить равным бесконечности (x max ≈ ∞). Тогда этот интеграл будет представлять собой некоторое число, а именно . Внутренняя энергия U в этом случае будет равна: , а молярная теплоемкость окажется пропорциональной кубу температуры: . (4.18) Эта приближенная зависимость известна как закон Дебая. При достаточно низких температурах этот закон выполняется во многих случаях очень хорошо. 2) При T >> θ, т.е. при , формулу (4.13) можно упростить, положив . Тогда для внутренней энергии получается выражение: , а для молярной теплоемкости значение , (4.19) фигурирующее в законе Дюлонга и Пти. Рассмотренные случаи согласуются с графиком зависимости теплоемкости кристалла от температуры, показанным на рис. 4.1. Формула Дебая (4.18) хорошо передает ход теплоемкости с температурой для тел с простыми кристаллическими решетками, т.е. для химических элементов и некоторых простых соединений.
Литература 1. Савельев И.В. Курс общей физики. – М.: Наука, т. 2, 1989. 2. Сивухин Д.В. Общий курс физики. – М.: Наука, т. 2, 1990. 3. Матвеев А.Н. Курс общей физики. - М.: Высшая школа, т. 2, 1976-1989. 4. Верещагин И.К., Кокин С.М., Никитенко В.А., Селезнев В.А., Серов Е.А. Физика твердого тела. - М., Высшая школа, 2001.
|