Методы интеграции1. Взятие конечных разностей. Пусть исходный ряд не является стационарным. Построим ряд , где . Если этот ряд удовлетворяет условиям стационарности, то исходный ряд обозначают , и делают вывод, что исходный закон близок к линейному. В противном случае переходят к ряду , где .Аналогично, обозначают , и делают вывод, что закон близок к квадратичному. 2. Логарифмирование цепных индексов, то есть . Имеет место, если временной ряд близок к экспоненте .
Процедуру интеграции приходится применять довольно часто, но после этого в стационарном ряде можно говорить о постоянстве коэффициентов автокорреляции второго порядка. В зависимости от характера поведения этих коэффициентов разделяют следующие процессы: AR(k) –(autoregressive model)- модель авторегрессии порядка k; MA(m) – Moving Average – скользящее среднее порядка m; ARMA(k,m) – модель авторегрессии-скользящего среднего порядка k; ARIMA(k,d,m) – интегрированная модель авторегрессии-скользящего среднего, k-порядок авторегрессии, m- порядок скользящего среднего, d-порядок интеграции. Перейдем к рассмотрению основных моделей. Модель авторегрессии порядка k - AR(k) Пусть имеется временной ряд , или , где – текущее значение уровня. Основное предположение состоит в том, что текущее значение уравнения ряда является линейной комбинацией k предыдущих значений и случайной ошибки. Общая модель авторегрессии: , где и – параметры модели или коэффициенты модели, – случайная ошибка или «белый шум». При построении модели AR необходимо решить две задачи: какой порядок модели следует выбрать и чему равны коэффициенты модели. Решение этих вопросов называется процедурой оценки моделей. (1). Без ограничений предполагаем, что . { Действительно, предположим , тогда , , , , . } Умножим выражение (1) на величину и возьмём от полученного выражения математическое ожидание (2) Рассмотрим выражение ковариации . Введём обозначение - коэффициент автоковариации. Тогда выражение (2) может быть записано в следующем виде: (2’) . Независимость следует из того, что ошибка текущего время не зависит от того, какие значения были получены до текущего момента времени . Разделим уравнение 2’ на , получим , (3) где . – теоретический коэффициент автокорреляции порядка . Таким образом, получили выражение для коэффициентов автокорреляции.
Нахождение коэффициентов модели. Для модели AR(k) имеет место (3). При помощи этого уравнения можно получить оценки коэффициентов . Используется следующая идея: по результатам наблюдения получим выборочные коэффициенты корреляции . Затем вместо теоретических коэффициентов автокорреляции подставляют в (3) выборочные значения и получают систему уравнений Юла-Уокера для определения оценок коэффициентов модели: (4) - оценки коэффициентов В этой системе известны , неизвестны . Заметим, что с теоретической точки зрения оценки Юла-Уокера должны быть состоятельными и несмещёнными(см. курс теории вероятностей и математической статистики). Однако на практике это не всегда выполняется, наиболее сильно нарушается требование несмещённости. Причина заключается в том, что ошибки в действительности зависят от предыдущих значений , но так слабо, что их полагают белым шумом. Однако это все-таки отражается на модели и снижает ее точность. Наиболее точно оценки коэффициентов модели можно получить для AR(1), AR(2)
|