Решение. Найдем частные производные первого порядка.

 

Найдем частные производные первого порядка.

Найдем частные производные второго порядка заданной функции:

 

 

 

 

Полный дифференциал 2-ого порядка функции вычисляется по формуле:

 

 

 

Задание №21. Найти производную неявно заданной функции:

 

 

Решение

 

Вычисляем производную, считая функцией от

Выражая получим искомую производную

 

 

 

Задание №31. Найти производные неявно заданной функции:

 

 

Решение

 

Запишем неявно заданную функцию

 

 

Найдем частные производные первого порядка.

 

 

Тогда

 

 

 

Задание №41. Найти градиент функции в точке А и производную этой функции в точке А по направлению к точке В:

 

 

Решение

 

Вычислим частные производные и определим их значения в точке

 

 

 

 

Градиент функции равен

 

 

 

 

 

Найдем направляющие косинусы вектора :

 

 

 

 

 

Производная по направлению равна

 

 

 

В точке

 

 

Задание №51. Написать уравнение касательной плоскости и нормали к заданной поверхности в точке .

 

 

Решение

Поскольку поверхность задана в виде

 

 

то уравнение касательной плоскости к указанной поверхности в заданной точке имеет вид:

 

 

Уравнение нормали имеет вид:

 

 

 

Вычислим частные производные функции и определим их значения в точке :

 

 

 

 

Тогда уравнение касательной плоскости принимает вид:

 

 

 

 

Уравнение нормали принимает вид:

 

 

 

Задание №61. Найти экстремум функции: