Взаимодействие электромагнитного поля с активной средой химического лазера

7.1. Коэффициент усиления слабого сигнала

Рис. 1.

Найдем выражение для коэффициента усиления через параметры состава среды. Рассмотрим элемент объема плоской электромагнитной волны, распространяющейся через активную среду COIL (рис. 1). В стационарном состоянии в каждой точке эйлеровой (лабораторной) системы координат все параметры не зависят от времени. В то же время в системе координат, перемещающейся вместе со световой волной, интенсивность и плотность фотонов меняются. Поэтому:

где N – количество фотонов в выделенном элементе объема волны. Используется также связь между интенсивностью, переносимой оптической волной (I), и плотностью фотонов в волне (r): . Преобразуем:

В то же время N=rN_AFdx, поэтому:

Объединяя, получаем выражение для пространственной производной от интенсивности волны:

С другой стороны, в системе координат, движущейся вместе со световой волной, плотность фотонов управляется кинетическими уравнениями:

Первая из этих реакций – это процесс вынужденного излучения, когда второй фотон появляется вследствие перехода атома йода из возбужденного в невозбужденное состояния под влиянием «вынуждающего» фотона. Формально – это реакция второго порядка, т.к. ее скорость пропорциональна не только концентрации возбужденных атомов йода, но и концентрации фотонов. Константа скорости этой «реакции» равна cs, где s - сечение вынужденного излучения [1]:

(&)

Вторая реакция – это процесс поглощения кванта. Известно [1], что ее скорость вдвое меньше скорости вынужденного излучения.

Необходимо обратить внимание, что размерность констант скорости, определенных таким образом (м³/с), соответствует измерению концентраций в частицах (атомах, молекулах или фотонах) на единицу объема. В нашем случае концентрации обычно измеряются в молях на единицу объема (конкретно – на м³), а константы скорости реакций второго порядка – в м³/(моль*с). Для перевода в «нашу» размерность необходимо умножить константу из (?) на число Авогадро:

Тогда, в соответствии с законом действующих масс,

Это выражение необходимо будет подставить в (:). Но прежде, переходя от плотности фотонов к интенсивности волны: r=I/(N_Achn), а также используя выражения для концентраций атомов йода:

получаем:

Теперь, подставляя это в (:), получаем дифференциальное уравнение для I:

 

Решаем:

Получили закон Бугера, описывающий экспоненциальный рост (затухание) волны. Коэффициент усиления определяется как показатель закона Бугера:

Коэффициент усиления может быть как положительным, и тогда интенсивность экспоненциально растет, так и отрицательным, и тогда волна затухает – в зависимости от величины степени активации «a». При a=1/3 коэффициент усиления равен нулю, то есть имеет место равновесие между процессами вынужденного излучения и поглощения квантов.

Используя выражение (5.%) для установившейся степени активации йода, получим окончательное выражение для коэффициента усиления слабого сигнала активной среды кислородно-йодного лазера:

(7.1.%)

 

7.2. Динамика релаксации коэффициента усиления, время релаксации, равновесный коэффициент усиления

Полученное выражение для коэффициента усиления справедливо при любой интенсивности волны. Пусть электромагнитное излучение, присутствующее в резонаторной полости кислородно-йодного лазера, настолько слабое, что состав среды от него не зависит и полностью определяется только процессами электронного обмена.

Рассмотрим самые существенные из них:

Первая реакция – это процесс накачки, в котором молекула синглетного кислорода передает энергию электронно-возбужденного состояния атому йода. Обратный процесс также имеет место. Закон действующих масс позволяет выписать уравнение для концентрации возбужденных атомов йода:

Подставляя выражения для концентраций молекул кислорода:

а также уже использовавшиеся выражения для концентраций атомов йода (:), получаем:

Упрощаем:

(1)

Установившееся решение (da/dt=0):

(2)

где K_e=k₂/k₁ – константа равновесия процесса накачки. Теперь остается подставить результат в (%). Вычислим, чему равно (3a-1):

Подставляем:

Это выражение для коэффициента усиления слабого сигнала, установившегося в результате процесса релаксации, управляемого уравнением (1). Степень активации йода определяется только равновесием процесса накачки, то есть только значениями Y – относительной концентрацией синглетного кислорода и K_e – константой равновесия накачки.

При Y=0 коэффициент усиления равен

При Y=K_e/(2+K_e) коэффициент усиления равен нулю. При Y=1 имеем:

Это – максимально возможное значение коэффициента усиления, реализующееся в том случае, когда весь имеющийся кислород находится в синглетном состоянии.

Уравнение (1) позволяет определить не только установившееся значение коэффициента усиления, но и время, за которое коэффициент усиления принимает это значение. Действительно, если изначально k не равно своему установившемуся значению, то при постоянных Y и K_e решение для a(t) имеет вид насыщающейся экспоненты:

Характерное время релаксации коэффициента усиления к своему установившемуся значению:

Рассмотрим теперь немного более сложный случай, когда, кроме накачки, имеет место еще процесс тушения возбужденных атомов йода молекулами воды. Тогда схема реакций электронного обмена будет выглядеть так::

Закон действующих масс позволяет выписать уравнение для концентрации возбужденных атомов йода:

Подставляя выражения для концентрации молекул воды:

а также уже использовавшиеся выражения для концентраций йода и кислорода, получаем:

Упрощаем:

Установившееся решение (da/dt=0):

где – «эффективная» константа равновесия накачки, учитывающая влияние тушения:

Теперь, аналогично (%), получаем выражения для коэффициента усиления слабого сигнала:

 

 

[1] - Юрышев

N_A – число Авогадро

c – скорость света

h – постоянная Планка

n - частота световой волны

 

7.3. Баланс энергии электромагнитного поля в простейшем плоскопараллельном резонаторе

Рассмотрим в качестве модели реального лазерного резонатора простейший плоскопараллельный резонатор (рис. 1). Два плоских зеркала расположены идеально параллельно друг другу и перпендикулярно оптической оси. Апертура зеркал имеет площадь A. Расстояние между зеркалами – L. Пусть весь объем резонатора, равный V=AL, полностью заполнен однородной по составу активной средой кислородно-йодного лазера.

Пусть одно из зеркал (левое на рис. 1) – «глухое», т.е. имеет нулевой коэффициент пропускания t=0. Другое зеркало – «выходное» - имеет коэффициент пропускания 0<t<1. Под коэффициентом пропускания понимается, как обычно, отношение интенсивности излучения, прошедшего через зеркало, к интенсивности падающего на него излучения.

 

Рис. 1.

Уравнение (%) описывает энергобаланс активной среды химического лазера, как и любой другой смеси химически реагирующих идеальных газов, в том случае, когда нет взаимодействия с электромагнитным полем. Присутствие поля вносит качественно новые черты в поведение активной среды. Казалось бы, поле ведет себя совершенно так же, как и любой другой компонент смеси, участвуя в «химических реакциях»:

(1)

Однако, в отличие от всех других компонент реагирующей смеси, фотоны движутся совершенно по-другому. Они не следуют вместе со всеми компонентами с одной общей скоростью, а перемещаются совершенно в другом направлении – в направлении оптической оси резонатора - со скоростью света.

Пусть резонатор сформирован двумя зеркалами таким образом, что направление движения активной среды (направление оси «x») и направление оптической оси резонатора взаимно перпендикулярны. Распределение плотности энергии электромагнитного поля зависит как от распределения усиливающих свойств активной среды, так и от формы зеркал. Фотоны движутся намного быстрее, чем активная среда, и успевают много раз отразиться от зеркал за время малейших изменений в распределении параметров активной среды. Поэтому обычно можно считать, что распределение плотности энергии поля квазистационарно и все время находится в равновесии с текущим состоянием активной среды, как стационарным, так и нестационарным.

Пусть резонатор работает таким образом, что плотность энергии фотонов равномерно распределена во всем объеме резонаторной полости. Это, разумеется, идеализация. Здесь важно то, что пространственное распределение источников фотонов не влияет на распределение самой плотности фотонов. Где бы фотон не «родился», он тут же со скоростью света покидает это место, а затем, многократно отражаясь от резонаторных зеркал, «размазывается» по объему резонаторной полости.

Пусть плотность фотонов в резонаторе равна r. Найдем, каким образом эта плотность связана с интенсивностью выходного лазерного пучка I. Рассмотрим схему взаимодействия поля в резонаторе с выходным зеркалом (рис. 2):

 

 

Рис. 2.

 

Здесь I₊ - интенсивность волны, падающей изнутри резонаторной полости на выходное зеркало, I_- - интенсивность отраженной волны, b, t - коэффициент потерь на зеркале и коэффициент пропускания выходного зеркала. Сумма интенсивностей падающей и отраженной волн, иначе называемая «внутрирезонаторной интенсивностью», равна:

Кстати:

Совокупность падающей и отраженной волн, формирующая в лазерном резонаторе что-то вроде стоячей волны, называется «резонаторной модой». Распределение энергии (плотности фотонов) в резонаторной моде на самом деле не является равномерным, а зависит как от распределения усиливающих свойств активной среды, так и от формы и взаимного положения резонаторных зеркал.

Отступление:

Кстати, вблизи второго зеркала (так называемого «глухого» зеркала, т.к. его коэффициент отражения в идеале равен нулю) внутрирезонаторная интенсивность немного другая. Действительно, отраженная от выходного зеркала волна с интенсивностью I_- дважды проходит через активную среду, усиливаясь, и один раз отражается от глухого зеркала, теряя энергию вследствие рассеяния и поглощения. Поэтому, в стационарном случае:

На глухое зеркало падает волна с интенсивностью:

Отражается от глухого зеркала волна, которая после однократного прохода через активную среду приобретает интенсивность I₊, поэтому ее интенсивность должна быть равна I₊exp(-kL):

Сумма интенсивностей волны, падающей на глухое зеркало и отраженной от него, то есть, иначе говоря, внутрирезонаторная интенсивность вблизи глухого зеркала, равна:

Сравнивая это выражение с (?), замечаем, что они не совпадают. Таким образом, модель с равномерной плотностью энергии в резонаторной полости имеет определенные внутренние противоречия. Тем не менее, эта модель полезна и при правильном использовании дает адекватные результаты.

Конец отступления.

Внутрирезонаторная интенсивность связана с плотностью фотонов следующим образом:

, (2)

где плотность фотонов r измеряется в молях на кубический метр, как и плотности всех остальных компонент химически реагирующей смеси.

Фотоны, составляющие лазерную моду, покидают объем резонатора, как за счет «полезных» потерь, формируя выходной лазерный пучок, так и за счет «вредных» потерь, рассеиваясь и поглощаясь на зеркалах и в объеме активной среды. Процесс вынужденного излучения (1) должен в точности компенсировать эти потери, если генерация является стационарной. Мощность выходного пучка равна AI (A – площадь апертуры резонатора, I – интенсивность выходного пучка), мощность, рассеиваемая и поглощаемая на двух зеркалах, равна 2AbI₊, а объем активной среды в резонаторе равен AL. Тогда средняя по объему плотность фотонов, покидающих резонатор в единицу времени, равна:

(3)

С другой стороны, процесс вынужденного излучения (1) рождает фотоны. Объемная плотность фотонов, рождаемых в единицу времени, определяется уравнениями реакций (1) и законом действующих масс:

(4)

В случае стационарной генерации плотность фотонов неизменна во времени, поэтому (dr/dt)_расход=(dr/dt)_приход, или:

Переходя от плотности фотонов r к выходной интенсивности I с помощью выражения (2), получаем:

Или, окончательно,

(5)

Эта связь между степенью активации атомарного йода и параметрами лазерного резонатора справедлива в режиме стационарной генерации, является следствием баланса энергии поля в резонаторе и не зависит от того, имеет ли место слабое или сильное взаимодействие поля и активной среды.

 

7.4. Стационарный режим генерации малой интенсивности

Будем понимать под слабым взаимодействием поля и активной среды такой режим, когда наличие или отсутствие поля внутри резонатора, а также величина его интенсивности не влияют на состав активной среды, а конкретно – на степень активации атомарного йода и на коэффициент усиления слабого сигнала.

Тогда в выражение (3.5) из предыдущего параграфа можно подставить выражение для степени активации (2.2), полученное без учета взаимодействия активной среды с полем лазерной моды:

(1)

Это справедливо, когда интенсивность поля в резонаторе близка к нулю, и при этом имеет место равновесие между малой генерацией и малыми потерями. Решив уравнение (1) относительно t, можно определить максимальный коэффициент пропускания выходного зеркала - такой, который соответствует порогу генерации:

(2)

Если пороговый коэффициент пропускания больше нуля, то при заданных параметрах (потери на зеркалах b, длина резонатора L, выход Y и т.д.) существует интервал значений коэффициента пропускания 0<t<t_порог, в котором лазер выдает отличную от нуля мощность излучения. Это – условие, которому должны удовлетворять параметры лазера для того, чтобы генерация была в принципе возможна:

(3)

 

7.5. Стационарный режим генерации конечной интенсивности

Уравнение (3.5), которое представляет собой связь между степенью активации атомарного йода и параметрами лазерного резонатора в режиме стационарной генерации, является следствием баланса энергии поля в резонаторе и не зависит от того, имеет ли место слабое или сильное взаимодействие поля и активной среды. В предыдущем параграфе оно использовалось для определения порогового коэффициента пропускания выходного зеркала в сочетании с выражением (2.2) для активации йода в режиме слабого поля.

То же самое можно проделать и в режиме поля конечной интенсивности, не делая никакого предположения относительно того, влияет или не влияет интенсивность поля на состав активной среды кислородно-йодного лазера. Такой подход позволит описать режим стационарной генерации, когда излучается конечная мощность, а также найти условия, когда мощность генерации максимальна. Для этого необходимо найти величину степени активации йода с учетом не только накачки, но и вынужденного излучения:

Закон действующих масс позволяет выписать уравнение для стационарной концентрации возбужденных атомов йода:

Аналогично тому, как это было сделано в п. 7.2, приведем это уравнение к безразмерному виду:

Теперь найдем отсюда стационарную степень активации йода с учетом влияния интенсивности поля лазерной моды:

(1)

Это выражение похоже на (2.2), только в числителе и в знаменателе появились дополнительные слагаемые, связанные с плотностью фотонов, или, иначе говоря, с внутрирезонаторной интенсивностью электромагнитного поля. При нулевой плотности фотонов (r=0) выражение (1) переходит в (2.2). Противоположный предел (r→∞): a→1/3 независимо от значения Y. Это, в частности, значит, что если среду, содержащую атомарный йод, поместить в поле очень мощного излучения другого йодного лазера, не обязательно кислородно-йодного, то 1/3 атомов йода будет находиться в активном состоянии, поглотив фотоны внешнего поля. После того, как среда перейдет в такое стационарное состояние, коэффициент усиления, пропорциональный (3a-1), обратится в ноль. Среда перестанет поглощать фотоны – говорят: произойдет «просветление» среды.

Теперь приравняем (1) и (3.5):

(2)

Это – уравнение для плотности фотонов r, а значит, и для связанной с ней интенсивности выходного излучения (см. (3.2)):

Задавая коэффициент пропускания выходного зеркала, можно из (2) найти стационарную плотность фотонов в полости резонатора, а затем с помощью (3.2) и интенсивность выходного излучения. Зависимость I(t) называется кривой Ригрода

Как было показано в предыдущем параграфе, при t=t_порог внутрирезонаторная плотность фотонов и выходная интенсивность обращаются в ноль. Теперь посмотрим, что происходит на другом конце кривой Ригрода, когда t→0. В (2) приравняем t=0 и найдем плотность фотонов r:

(3)

Из-за наличия потерь на зеркалах плотность фотонов не обращается в бесконечность при t→0, а стремится к этому вполне конечному пределу. Только если и b=0, то r→∞, но в реальной жизни это невозможно.

При отличных от нуля, но малых значениях t, в частности, при t<<b, наличие выходного излучения мало что меняет в балансе энергии резонаторной моды. Поэтому можно считать, что для малых t выходную интенсивность можно считать по плотности фотонов (3) с использованием связи (3.2):

(4)

То есть начальный участок кривой Ригрода I=I(t) представляет собой прямую, наклон которой определяется коэффициентом при t в выражении (4).

Уравнение энергии для стационарного одномерного адиабатического движения химически реагирующей термодинамически равновесной смеси идеальных газов

Вариант 1

 

Модель термодинамически равновесной смеси идеальных газов можно использовать, когда характерные времена изменения макроскопического состояния среды много больше времени установления равновесного статистического распределения. Тогда все компоненты смеси, каждый из которых представляет собой совершенный газ, имеют одну и ту же температуру.

Уравнение состояния такой смеси можно записать в виде:

где c [моль/м³] – мольная «плотность» смеси, являющаяся суммой мольных плотностей компонент:

где NC – количество компонент смеси.

Когда идут химические реакции, то, поскольку меняется состав смеси, вообще говоря, меняются молекулярный вес смеси, теплоемкость и показатель адиабаты, в то время как молекулярные веса, теплоемкости и показатели адиабаты компонент смеси - постоянны. Рассмотрим, каким образом параметры смеси связаны с параметрами отдельных компонент.

Поскольку массовая и мольная плотности связаны через молекулярную массу: r=mc; r_i=m_ic_i; а плотность смеси есть сумма плотностей компонент, то:

Тогда молекулярная масса смеси:

Объемная теплоемкость смеси (C_pc [Дж/м³К]) есть сумма объемных теплоемкостей компонент:

Тогда мольная теплоемкость смеси:

Аналогичное соотношение имеет место и для теплоемкости при постоянном давлении. В этом параграфе обозначение C_p, C_v используется для мольных теплоемкостей, C_pm, C_vm – для массовых.

Основа уравнения энергии – первый закон термодинамики, который для адиабатического процесса можно выразить следующим образом:

где dU – изменение внутренней энергии тела, dK – изменение кинетической энергии макроскопического движения тела, dA – работа внешних сил, совершаемая над телом. В качестве рабочего тела рассмотрим элемент среды, который в момент времени «t» занимает участок канала в промежутке между «x» и «x+dx»:

Рис. 1

Работа внешних сил: dA=PFudt-(P+dP)(F+dF)(u+du)dt, или, с точностью до членов второго порядка малости,

Здесь использован закон сохранения массы:

Внутренняя энергия выделенного тела – это в данном случае сумма энергии хаотического теплового движения молекул (тепловой энергии) и энтальпии образования h⁰ (иначе говоря, энергии, затраченной на создание молекул данного вещества из простых веществ, энтальпия образования которых считается равной нулю). Поскольку мы рассматриваем движение среды в сочетании с химическими преобразованиями, то энтальпия образования должна быть учтена в составе внутренней энергии. Когда рассматривается движение среды без химических преобразований, энтальпия образования не высвобождается, поэтому соответствующая часть внутренней энергии может не учитываться. Итак:

Здесь C_vmT+h⁰_m – внутренняя энергия единицы массы смеси, C_vm – массовая теплоемкость смеси при постоянном объеме, h⁰_m – энтальпия образования единицы массы смеси. С точностью до членов второго порядка малости:

Изменение кинетической энергии выделенного тела:

Подставляем:

Из уравнения состояния смеси: P=rRT (R=R₀/m - индивидуальная газовая постоянная, m - молекулярная масса смеси): P/r=RT=(C_pm-C_vm)T. Подставляем:

Необходимо обратить внимание на разницу между пространственными и временн ы ми производными. Поскольку рассматривается стационарное одномерное течение, то имеется всего одна независимая переменная – пространственная координата «x», отсчитываемая по направлению движения среды. Когда встречается запись типа d(*) – это означает дифференциал какой-либо величины, соответствующий бесконечно малому изменению этой независимой переменной – «dx».

В то же время выделенное физическое тело движется, и его параметры меняются во времени. Соответствующая временн а я производная является субстанциональной, то есть берется в системе координат, связанной с движущейся средой, и, вообще говоря, не равна нулю в стационарном потоке. В отличие от нее частная производная по времени, которая берется при постоянном значении пространственной координаты «x», везде равна нулю в силу предположения о стационарности потока.

Когда отсутствуют химические превращения, состав смеси не меняется в процессе движения, и энтальпия образования единицы массы смеси постоянна. Поэтому последнее уравнение упрощается:

В этом случае и теплоемкость также постоянна, поэтому:

Получаем уравнение энергии нереагирующего совершенного газа в адиабатическом движении, выражающее факт сохранения полной энтальпии H_m=C_pmT+u²/2.

В случае, когда имеют место химические превращения, понятие полной энтальпии необходимо обобщить, включив в нее энтальпию образования: H_m=C_pmT+h⁰_m+u²/2. Сам принцип сохранения полной энтальпии остается неизменным.

Теперь вернемся к обобщенному закону сохранения полной энтальпии (?) и разберемся, как связаны параметры смеси: массовая теплоемкость C_pm и энтальпия образования h⁰_m с изменяющимся составом смеси. Это необходимо сделать, поскольку неизвестные, относительно которых желательно записать окончательные уравнения – это P, T, u, а также параметры, характеризующие состав смеси. Состав смеси удобно описывать мольными плотностями компонент {c_i}. Это так, поскольку изменение состава смеси в процессе химических превращений, которое необходимо будет также каким-то образом включить в окончательные уравнения, удобнее всего описывается в терминах именно мольных плотностей. Итак, необходимо выразить C_pm и h⁰_m через мольные плотности {c_i} и параметры компонент смеси – молекулярные веса и теплоемкости. Итак, во-первых, выразим производную от массовой теплоемкости через производные от мольных плотностей компонент смеси:

Мольная теплоемкость смеси:

Аналогично, молекулярная масса смеси:

Подставляя в (%), получаем выражение для производной от массовой теплоемкости:

Теперь проделаем то же самое с энтальпией образования:

Мольная энтальпия образования смеси:

Подставляя это выражение в предыдущее, и, кроме того, используя ранее выведенное выражение для дифференциала молекулярной массы смеси (?), получаем:

Теперь напомним уравнение энергии для стационарного потока химически реагирующей смеси (?):

Подставим в это уравнение выражения, полученные для dC_pm и dh⁰_m. Получится:

Это и есть искомое уравнение энергии для химически реагирующей смеси идеальных газов. Оно связывает пространственные производные от следующих неизвестных: мольные плотности {c_i}, температура T и скорость u.

 

Уравнение энергии для стационарного одномерного адиабатического движения химически реагирующей термодинамически равновесной смеси идеальных газов

Вариант 2

Подставляем:

Поскольку:

Члены при dT:

Члены при dc_i:

Подставляем:

Учитывая, что массовая плотность r=mc, C_p/m=C_pm – массовая теплоемкость, h⁰/m=h⁰_m – массовая энтальпия образования, полученное уравнение энергии совпадает с уравнением (%) из варианта 1.

Уравнение неразрывности для химически реагирующей смеси газов

 

Рис. 1

 

Рассмотрим закономерности, которыми управляется плотность каждого компонента смеси идеальных газов, когда между ними идут химические реакции. По-прежнему рассматриваем стационарное и локально термодинамически равновесное течение смеси. Тогда (рис. 1):

Здесь N_i – количество вещества i-й компоненты в рассматриваемом физическом теле - выделенном объеме активной среды, занимающем в момент времени «t» участок канала между сечениями «x» и «x+dx», а в момент «t+dt» - участок между «x+udt» и «x+dx+(u+du)dt». Раскрывая скобки и пренебрегая членами с порядком выше первого, получаем:

Уравнение такого вида имеет место для каждого из компонентов смеси, поэтому i=1,…,NC. Когда нет химических превращений, количество вещества в любом выделенном физическом теле сохраняется, и тогда получается обычное уравнение неразрывности:

Количество вещества – это произведение мольной плотности на объем тела. Поэтому:

Подставляем:

Здесь временн а я производная от мольной плотности i-го компонента смеси – это субстанциональная производная, которая при отсутствии реакций равна нулю, а при их наличии определяется законом действующих масс.

Выпишем в общем виде произвольную систему реакций:

Здесь A_k – обозначение химического символа k-го компонента смеси, NC – количество компонент смеси, NR – количество реакций, - левый стехиометрический коэффициент при k-м компоненте в j-й реакции, - аналогичный правый стехиометрический коэффициент, k_j – константа скорости j-й реакции. В соответствии с законом действующих масс скорость j-й реакции, то есть количество молей i-го компонента, вырабатываемого в каждой реакции в единице объема в единицу времени, пропорционально произведению концентраций реагентов и константе скорости реакции. Поэтому [1]:

Подставляя в [#], получаем:

Это – искомое уравнение неразрывности для одномерного стационарного потока химически реагирующей смеси газов, которое выражает изменение мольной плотности i-го компонента как за счет движения смеси в канале (первые два члена в правой части), так и за счет химических превращений (третий член).

 

 

[1] Лапин

 

Замкнутая система уравнений, описывающая одномерное стационарное движение химически реагирующей смеси совершенных газов

 

1. Уравнение неразрывности для каждой из компонент смеси:

здесь система реакций записывается в виде:

2. Уравнение импульсов:

Здесь mc=r - массовая плотность смеси, m - молекулярная масса смеси:

c – суммарная мольная плотность всех компонент смеси:

3. Уравнение энергии:

4. Уравнение состояния:

В дифференциальной форме:

Таким образом, имеем NC уравнений неразрывности, уравнения импульсов, энергии и состояния, то есть всего NC+3 уравнений. Неизвестные: {c_i, i=1,…,NC}, u, T, P – то есть всего NC+3 неизвестных. Система является замкнутой.