Дифракция на дифракционной решетке

Одномерная дифракционная решетка представляет собой систему из большого числа одинаковых параллельных щелей, разделенных также одинаковыми непрозрачными промежутками. Если а и b – соответственно ширина прозрачного и непрозрачного промежутков, то величина d = а + b называется постоянной решетки или ее периодом , где N₀ – число щелей, приходящееся на единицу длины.

 

 

Дифракционные решетки изготовляют методом нанесения тонких штрихов (царапин) на поверхность стеклянной пластинки (прозрачная решетка) или металлического зеркала (отражательная решетка).

Дифракционной решеткой может служить совокупность большого числа любых неоднородностей (отверстий и преград) на плоскости или в объеме; в последнем случае решетка называется пространственной. Например, трехмерную пространственную решетку представляют собой кристаллы твердых тел.

Схема наблюдения дифракции на прозрачной решетке представлена на рис. 1.7.

Рис. 1.7. Дифракция на прозрачной решетке: 1 – дифракционная решетка; 2 – линза; 3 – экран

 

На дифракционную решетку падает пучок параллельных лучей перпендикулярно к плоскости, в которой лежат щели. Решетка 1 вызывает дифракцию световых лучей, и на экране 3, помещенном в фокальной плоскости линзы 2, образуется дифракционная картина. Явлению дифракции сопутствует явление интерференции – наложение когерентных дифрагированных волн друг на друга.

Каждая щель решетки дает дифракционную картину в соответствии c уже описанной. При этом дифракционные максимумы и минимумы налагаются друг на друга. Однако основные черты общей дифракционной картины определяются как результат взаимной интерференции волн, идущих от всех щелей, т.е. в дифракционной решетке осуществляется многолучевая интерференция когерентных дифрагированных пучков света.

Выберем пучки от каждой щели решетки, распространяющиеся под одинаковым углом φ к нормали к дифракционной решетке. Собранные линзой 3 в одну линию (проходящую через точку P экрана), эти лучи проинтерферируют. Если общее число щелей в решетке N, то и интерферируют между собой N пучков. Результат интерференции будет зависеть от разности хода Δ между пучками. Так как щели находятся друг от друга на одинаковых расстояниях, то и разности хода лучей, идущих от двух соседних щелей, будут для данного направления φ одинаковы в пределах всей решетки:

. (1.5)

Этой разности хода соответствует разность фаз

. (1.6)

Если

, (1.7)

то колебания от всех щелей придут в точку P в одинаковой фазе, и будут взаимно усиливать друг друга. Амплитуда колебаний в этой точке:

A_max = NA, (1.8)

где A – амплитуда колебания, посылаемого одной щелью под углом φ.

Из соотношений (1.5) и (1.6) получим условие максимумов интенсивности:

, k = 0, 1, 2... (1.9)

Максимумы, определяемые данным условием, называются главными. Число k дает порядок главного максимума. Центральный максимум представляет собой максимум нулевого порядка. По обе стороны от него располагаются максимумы 1-го, 2-го и т.д. порядков.

Интенсивность главных максимумов J_max в N² раз больше интенсивности J_φ, создаваемой в направлении φ одной щелью. Действительно, возведя равенство (1.7) в квадрат, получим:

J_max = N²J_j. (1.10)

Главные минимумы при дифракции света на дифракционной решетке наблюдаются под углами дифракции φ, соответствующими минимумам при дифракции на одной щели:

, k = 1, 2, 3... (1.11)

В этих направлениях каждая из щелей не дает света (сама себя гасит).

Более детальный анализ многолучевой интерференции в дифракционной решетке показывает, что в промежутках между соседними главными максимумами имеется (N – 1) дополнительных минимумов и соответственно (N – 2) вторичных максимумов, интенсивность которых пренебрежимо мала по сравнению с главными максимумами.

В монохроматическом свете дифракционная картина имеет вид узких и ярких главных максимумов, разделенных практически темными широкими промежутками. Таким образом, световая энергия, падающая на решетку, перераспределяется ею так, что большая ее часть приходится на максимумы, а в минимумы попадает незначительная часть энергии. При увеличении числа щелей яркость главных максимумов возрастает, а вторичных – уменьшается.

 

Рис. 1.8. Распределение освещенности при дифракции на дифракционной решетке

 

При освещении решетки белым светом условия максимума (1.9) и минимума (1.11) будут справедливы для всех длин волн, и дифракционный спектр будет в виде окрашенных максимумов для λ₁, λ₂, λ₃,... Как видно из формулы (1.9), в центре (φ = 0) будет белая полоса, максимум нулевого порядка для λ₁, λ₂, λ₃,.... По обе стороны от нулевого порядка будут располагаться максимумы 1, 2,... порядков для λ₁, λ₂,.... Эти максимумы, сливаясь друг с другом, образуют окрашенные полосы – спектры 1, 2,... порядков. Чем короче длина волны, тем ближе расположен максимум к центральному, что видно из выражения . При k = 1 возникнут два спектра первого порядка (правый и левый), расположенных фиолетовыми концами к центральной белой полосе
(λ_фиол < λ_красн); при k = 2, 3,... – спектры второго, третьего и т.д. порядков (рис. 1.9).

Рис. 1.9. Схематичная картина спектров

 

Установка, на которой выполняются задания данной лабораторной работы, схематически представлена на рис. 1.10.

 

Рис. 1.10.Внешний вид лабораторной установки:

1 – оптическая скамья, 2 – рейтеры, 3 – лазер с источником питания,
4 – дифракционная решетка, 5 – экран

Экран можно поворачивать под разными углами к падающему на него световому пучку. Этот прием, так называемая косая проекция, очень удобен для значительного растягивания дифракционных картин в поперечном направлении, что дает возможность без микроскопа и лупы рассматривать на экране различные подробности дифракционных явлений. Дифракцию можно наблюдать и на экране, расположенном на стене.

ВНИМАНИЕ! НАДО ПОМНИТЬ, ЧТО ПОПАДАНИЕ В ГЛАЗА ПРЯМОГО ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ОПАСНО ДЛЯ ЗРЕНИЯ, ПОЭТОМУ ПРИ РАБОТЕ С ЛАЗЕРОМ НЕОБХОДИМО СОБЛЮДАТЬ ПРЕДОСТОРОЖНОСТИ. ВСЕ ВКЛЮЧЕНИЯ И ВЫКЛЮЧЕНИЯ УСТАНОВКИ ПРОИЗВОДЯТСЯ ТОЛЬКО ПРЕПОДАВАТЕЛЕМ ИЛИ ДЕЖУРНЫМ ЛАБОРАНТОМ. ВСЯКОЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕ ЛАЗЕРА КАК ВО ВКЛЮЧЕННОМ, ТАК И В ВЫКЛЮЧЕННОМ СОСТОЯНИИ СТУДЕНТАМ КАТЕГОРИЧЕСКИ ВОСПРЕЩАЕТСЯ.

 

Задание I. Измерение длины волны излучения газового лазера
с помощью дифракционной решетки

Направленность и пространственная когерентность излучения лазера позволяют применять лазерный световой пучок в ряде измерений без предварительной его коллимации. Эта особенность лазерного излучения используется, в частности, в опытах с дифракционной решеткой.

Измерения, выполняемые в данном задании, имеют целью определение длины волны излучения лазера λ. Для этого используется условие максимума при дифракции на дифракционной решетке (1.9), из которого:

, (1.12)

где d – постоянная решетки; k – порядок максимума; φ – угол, на который отклоняются лучи с длиной волны λ от своего первоначального распространения (рис. 1.11). Поскольку угол φ мал, то . Расчетная формула будет иметь вид:

, (1.13)

где – среднее расстояние от центрального максимума () до максимума k порядка (среднее арифметическое отсчета справа и слева от центрального максимума).

Порядок выполнения задания

1. Подготовить установку к измерениям согласно рис. 1.10. Прямоугольный экран расположить нормально к оси лазера на расстоянии L от плоскости дифракционной решетки.

2. При включенном лазере установить дифракционную решетку перпендикулярно к оси светового луча, выходящего из лазера. Для этого путем вращения столика, несущего решетку, привести световой блик, отраженный назад к лазеру от плоскости решетки точно на середину выходного окна лазера, т.е. добиться совпадения выходящего из лазера светового пучка с его отражением от плоскости решетки.

3. Произвести измерения расстояния х слева и справа от максимума нулевого порядка до максимума k-го порядка. Результаты измерений занести в табл. 1.1.

4. Произвести измерения, аналогичные пункту 3 данного задания с другим расстоянием L между экраном и дифракционной решёткой.

 

Таблица 1.1

d, мм	L, мм	k	х слева, мм	х справа, мм	хср, мм	l,	lср,

 

5. Рассчитать длину волны излучения газового лазера, используя выражение (1.13), учитывая, что 1 мм = 10⁷ ( – ангстрем).