Теорема Ван Циттерта-Цернике.

Эта теорема является одной из наиболее важных теорем современной оптики. Она позволяет найти взаимную интенсивность и комплексную степень когерентности для двух точек экрана, освещаемого протяженным квазимонохроматическим источником. Теорема показывает, как происходит преобразование поперечной корреляционной функции светового пучка в процессе распространения.

Из теоремы следует, что поперечный радиус корреляции частично когерентного волнового пучка в процессе распространения за счет дифракции увеличивается.

Будем считать, что свет является квазимонохроматическим. Мы знаем, что взаимная интенсивность распространяется в соответствии с законом

который справедлив для различной степени когерентности, характеризуемой взаимной интенсивностью J(P₁,P₂).

Для некогерентного источника с точностью до константы

Взаимная интенсивность получается, используя "избирательные" свойства δ -функции.

Чтобы упростить это выражение, примем некоторые предположения и приближения.

1.Размеры источника и области наблюдения намного меньше расстояния z, от источника до плоскости наблюдения, тогда

Тогда выражение для взаимной интенсивности в наблюдаемой области

Рис. 6.5. К выводу теоремы Ван Циттерта-Цернике

Далее, предполагая, что плоскости источника излучения и наблюдения параллельны и учитывая параксиальное приближение

Вводя обозначения Δx = x₂ − x₁, Δy = y₂ − y₁, и, принимая во внимание, что I(ξ,η) = 0 для области вне источника Σ, окончательно получим

где фазовый множитель

ρ1 и ρ2 - расстояния от точек (x1,y1) и (x1,y2) до оптической оси.

В нормированном виде теорема принимает

Если выполняется равенство

Значение теоремы и следствия из нее. Теорема Ван Циттерта- Цернике, может быть сформулирована следующим образом: с точностью до множителя exp(-jΨ) и масштабных постоянных взаимную интенсивность J(x₁,y₁;x₂,y₂) можно найти, выполнив двумерное преобразование Фурье распределения интенсивности I(ξ,η) по поверхности источника.

Следует также обратить внимание, что |γ| зависит только от разности координат (Δx, Δy).

Поскольку множитель exp(-jψ) может быть опущен в случаях:

1.

2. Если точки Q₁ и Q₂ находятся на одинаковом расстоянии от оптической оси то фаза ψ = 0.

3. Если отверстия лежат не на плоскости, а на сфере радиусом z с центром на источнике.

7.Тонкости в толковании термина "дифракция";

Ограниченный в пространстве волновой пучок имеет свойство «расходиться» («расплываться») в пространстве по мере распространения даже в однородной среде. Данное явление, не описывается законами геометрической оптики и относится к дифракционным явлениям (дифракционная расходимость, дифракционное расплывание волнового пучка). Исходное ограничение волнового поля в пространстве и его определенная структура могут возникнуть не только за счет присутствия поглощающих или отражающих элементов, но и, например, при порождении (генерации, излучении) данного волнового поля.

Изначально явление дифракции трактовалось как огибание волной препятствия, то есть проникновение волны в область геометрической тени.

Следует заметить, что в средах, в которых скорость волны (и показатель преломления) плавно меняется от точки к точке, распространение волнового пучка является криволинейным. При этом волна также может огибать препятствие. Однако такое криволинейное распространение волны может быть описано с помощью уравнений геометрической оптики, и это явление не относится к дифракции. Отступление от прямолинейности распространения света наблюдается также в сильных полях тяготения, например в ее поле тяготения в сторону звезды. Это явление также не относится к дифракции.

Вместе с тем, во многих случаях дифракция может быть, и не связана с огибанием препятствия. Такова, например, дифракция на непоглощающих (прозрачных) так называемых фазовых структурах. С точки зрения современной науки определение дифракции как огибания светом препятствия признается недостаточным (слишком узким) и не вполне адекватным.

Поскольку, с одной стороны, явление дифракции света оказалось невозможным объяснить с точки зрения лучевой модели, то есть с точки зрения геометрической оптики, а с другой стороны, дифракция получила исчерпывающее объяснение в рамках волновой теории, то часто под дифракцией понимают проявление любого отступления от законов геометрической оптики. При этом следует заметить, что некоторые волновые явления не описываются законами геометрической оптики и, в тоже время, не относятся к дифракции. К таким типично волновым явлениям относится, например, вращение плоскости поляризации световой волны в оптически активной среде, которое дифракцией не является. Вместе с тем, единственным результатом так называемой коллинеарной дифракции с преобразованием оптических мод может быть именно поворот плоскости поляризации, в то время как дифрагированный волновой пучок сохраняет исходное направление распространения. Такой тип дифракции может быть реализован, например, как дифракция света на ультразвуке в двулучепреломляющих кристаллах, при которой волновые векторы оптической и акустической волн параллельны друг другу. Еще один пример: с точки зрения геометрической оптики невозможно объяснить явления, имеющие место в так называемых связанных волноводах, хотя эти явления также не относят к дифракции (волновые явления, связанные с «вытекающими» полями).

Общим свойством всех эффектов дифракции является именно определенная зависимость данного явления от соотношения между длиной волны и размером неоднородностей среды. Поэтому дифракция представляет собой универсальное волновое явление и характеризуется одними и теми же законами в случае волн разной природы.

8.Учет дискретности спектра подсвечивающего излучения и направления подсвета Дискретность спектра подсвечивающего излучения. В реальных условиях подсвечивающее объект излучение никогда не бывает чисто когерентным. Оно может состоять из дискретного или непрерывного набора волн (частот), что приводит к ухудшению временной когерентности излучения. Рассмотрим влияние излучения в виде набора дискретных волн на статистические характеристики изображения.

Изображения, получаемые при фотографировании в белом свете, не имеют пятнистой флуктуационной структуры. Поэтому, можно предположить, что с увеличением числа длин волн подсвечивающего излучения контраст в изображении будет уменьшаться.

Пусть объект состоит из двух случайно расположенных точек, и в подсвечивающем излучении присутствуют две длины волны. В этом случае результирующая амплитуда поля в изображении объекта при его при его облучении двумя длинами волн

E (δ, t)= E (ω₁,δ)exp(i ω₁ t)+ E (ω₂,δ) exp(i ω₂ t),

где E (ω _j,δ) ≈ E_и [ A ₁ exp(i ω _j z ₁ / c)+ A ₂ exp(i ω _j z ₂ / c)]; ω _j = 2π c / λ _j; j =1,2.

Следовательно, интенсивность изображения представляет собой меняющуюся со временем структуру с периодом изменения τ =1/(ω₂ − ω₁).

Разность частот излучения ω;₂ - ω;₁ для оптического диапазона волн обычно велика. Даже при отличии длин волн на 10^-5 % она составляет порядка 10 МГц. Характерное время регистрации оптических изображений 10^-7 с и выше. Следовательно, регистрироваться будет усредненная по времени интенсивность - плотность энергии излучения

где T – время регистрации изображения.

В этом случае имеет смысл говорить о статистических характеристиках величины Q (δ;).

С физической точки зрения падение контраста в изображении при подсвете объекта сильно разнесенными длинами волн объясняется тем, что в плоскости изображения формируются два или несколько несовпадающих между собой изображения. Двукратное падение контраста при (ω1 - ω2)σ/c>>1 имеет место и при подсвете многоточечного объекта (цели). В случае, когда многоточечный объект подсвечивается несколькими длинами волн λm = 2πc/ωm, m = 1,2, …, m0 контраст уменьшается в число раз, соответствующее числу длин волн подсвечивающего излучения: С1 = С/m0 при (ωm - ωn)σ/c>>1. В противоположном случае С1 = С, т. е. контраст такой же, как при подсвете многоточечного объекта одной длиной волны. Таким образом, контраст в изображении многоточечного объекта со случайным расположением точек меняется от контраста С, получаемого на одной длине волны, до контраста С/m0, имеющего место при условии, что все длины волн удовлетворяют неравенствам 0 λm −λn >λmλn /σ, m, n =1,2,...,m, где m0 – кратное падение контраста является следствием сложения m0 статистически независимых изображений, получаемых на различных длинах волн. Это приводит к m0 – кратному уменьшению относительной дисперсии суммы этих изображений. При рассмотрении данного вопроса мы не учитывали корреляционных связей между точками, которые имеют место, если объект непрерывен, не

учитывалось также интенсивности каждой из спектральных составляющих и форма объекта.

контраст в изображении, получаемом на широком спектре длин волн, падает во столько раз по сравнению с контрастом изображения, получаемом на одной длине волны, во сколько раз длина когерентности излучения меньше дисперсии расстояния между точками объекта. Этот результат есть следствие того факта, что при λc<<σ расстояния между точками объекта столь велики, что их можно мысленно разбить на участки вдоль оси z, причем эти участки (даже соседние) будут рассеивать излучение, не интерферирующее друг с другом. Число таких статистически независимых полей как раз и составляет m0 = λc/σ. Качественно подобная картина будет иметь место и при произвольном виде спектра. В этом случае Δλ - полуширина спектра, =λ /Δλ 2 λc.