Поверхностный интеграл 1-го рода

З доведених теорем випливає, що = F{x) + С, де F(x) — яка-небудь первісна для функції f(x) на даному проміжку, С — довільна стала (її називають сталою інтегрування).

Таблиця первісних (невизначених інтегралів)

формула Ньютона-Лейбніца набирає вигляду:

Із властивостей первісної і формули Ньютона-Лейбніца ви­пливають основні властивості інтеграла.

1) Інтеграл суми (різниці) функцій дорівнює сумі (різниці) інтегралів:

.

2) Постійний множник можна виносити за знак інтеграла:

 

3) Якщо с є [а; b ], то

 

 

Поверхностный интеграл 1-го рода

Пусть – кусочно-гладкая поверхность (то есть поверхность можно разбить на конечное число частей, на каждой из которых вектор нормали меняется непрерывно), расположенная в трехмерном пространстве. Рассмотрим произвольное разбиение поверхности на частичные поверхности , площади которых равны и пусть ( – произвольные точки на поверхностях . Тогда для скалярного поля , определенного на , можно составить интегральную сумму . Предел интегральных сумм при , если этот предел существует и не зависит от выбора разбиения поверхности и выбора точек , называется поверхностным интегралом 1-го рода. Иными словами, поверхностный интеграл I-го рода определяется соотношением

где – дифференциал площади поверхности.

Если скалярное поле непрерывно на поверхности , то поверхностный интеграл I-го рода существует.

Физический смысл этого интеграла зависит от характера данного скалярного поля: он может определять массу, распределенную по поверхности, электрический заряд, статический момент, момент инерции и т.д.

Приведем правило вычисления поверхностного интеграла 1-го рода.

Допустим сначала, что прямая, параллельная оси , пересекает поверхность лишь в одной точке. Тогда эту поверхность можно задать уравнением . Так как каждой точке из области (проекция поверхности на ) соответствует только одна точка на поверхности , то вычисление поверхностного интеграла 1-го рода по поверхности сводится к вычислению двойного интеграла по области . В самом деле, элемент площади выражается в виде

, где ɤ - острый угол, который нормаль к поверхности составляет с осью . Так как вычисляется по формуле

то для вычисления поверхностного интеграла 1-го рода в этом случае используется формула

Аналогично, если поверхность однозначно проектируется на плоскость или , то ее можно задать уравнением или уравнением , и поэтому для вычисления интеграла I-го рода используются соответственно формулы:

Наконец, если поверхность нельзя однозначно спроектировать на координатные плоскости, то для вычисления поверхностного интеграла I-го рода, необходимо развить поверхность на несколько частей, каждая из которых может быть однозначно спроектирована на одну из координатных плоскостей, а затем использовать одну из формул (1)-(3).

Пример 1. Найти момент инерции поверхности сегмента сферы с уравнением , отсекаемого плоскостью , относительно оси .

Решение.

Рис.1

Так как момент инерции элементарной площадки есть произведение квадрата расстояния от до этой площадки на площадь, то момент инерции всего сегмента равен

где - расстояние от точки на поверхности сегмента до оси Ясно, что

Кроме того, поверхность сферы задается уравнением Поэтому

Отсюда, применяя формулу (1), находим

где – проекция поверхности интегрирования на плоскость (см. Рис.1). Переходя в последнем интеграле к полярным координатам, получим

где .

Сделаем в последнем интеграле замену

Тогда , где . Поэтому

Следовательно,

Пример 2. Найти массу поверхности , если известно, что плотность материала, из которого она состоит, равна , а сама поверхность задана соотношениями:

Решение. Масса определяется поверхностным интегралом I-го рода:

Рис.2

Так как поверхность однозначно проектируется на плоскость (см. Рис.2), то поверхностный интеграл можно вычислить, используя формулу :

Здесь мы использовали соотношение , в силу которого . Через обозначена область , лежащая в плоскости . Переходя в предыдущем равенстве к повторному интегралу, получаем