Понятие функции нескольких переменных

R

R

Определение. Пусть G – некоторое множество в Rⁿ. Отображение называется действительной функцией n действительных переменных.

Обозначается .

Множество G называется областью определения функции, а множество значений, которые принимает u – множеством значений функции f.

В случае n =2 обычно пишут z = f (x, y), а при n =3 u = f (x, y, z).

Пример. Найти область определения функции .

D D (z):

R

. D

R

R

Пусть дана функция двух переменных z = f (x, y) с областью определения . Функция f задается множеством точек . Значит, это множество можно изобразить в трехмерном координатном пространстве. Получим множество точек, которое называется графиком функции z = f (x, y). Часто (но не обязательно) графиком такой функции является поверхность. Не каждая поверхность может быть графиком функции двух переменных. Если поверхность является графиком функции двух переменных, то любая прямая, параллельная оси О z пересекает ее не более, чем в одной точке.

Пример. D Рассмотрим функцию .

- круг с центром в (0;0), радиусом R =2.

- верхняя полусфера с центром в (0;0;0), радиусом R =2. D

Пусть функция z = f (x, y) задана на D Í Rⁿ. Пересечем график функции плоскостью z = a. В сечении получим линию

Спроектируем ортогонально эту линию на плоскость х О у. Линия f (x, y)= a лежит в D и называется линией уровня функции f.

Определение. Линией уровня функции z = f (x, y) называется множество точек (x, y) из области определения функции, в которых функция принимает одно и то же значение а.

Придавая а разные значения, будем получать различные линии уровня. Значит, если а – параметр, то f (x, y)= a – семейство линий уровня. Обычно в качестве а берут числа а ₁, а ₂, а ₃,…, образующие арифметическую прогрессию. В этом случае линии уровня дают некоторое наглядное представление о графике функции z = f (x, y). В тех местах, где линии уровня сгущены, функция возрастает быстрее, чем в тех местах, где они разрежены.

Аналогично вводится понятие поверхностей уровня функции трех переменных u = f (x, y, z): . Если а – параметр, то f (x, y, z)= а – семейство поверхностей уровня.