ЗАКОН СТЕФАНА-БОЛЬЦМАНА И ЗАКОН СМЕЩЕНИЯ ВИНА

 

Из закона Кирхгофаследует, что спектральная плотность энергетической светимости черного тела является универсальной функцией, поэтому нахождение ее явной зависимости от частоты и температуры является важной задачей теории теплового излучения.

Австрийский физик Й. Стефан (1835-1893),анализируя экспериментальные данные (1879), и Л. Больцман, применяя термодинамический метод (1884), решили эту задачу лишь частично, установив зависимость энергетической светимости R_e от температуры. Согласно закону Стефана-Больцмана,

R_e =s T ⁴,

т. е. энергетическая светимость черного тела пропорциональна четвертой степени его термодинамической температуры; s - постоянная Стефана-Больцмана: ее эк­спериментальное значение равно 5,67^.10^-8 Bт / м ^2. K).

Закон Стефана-Больцмана, определяя зависимость R_e от температуры, не дает ответа относительно спектрального состава излучения черного тела. Из экспериментальных кривых зависимости функции r _{l, T} от длины волны l при различных температурах (рис.287) следует, что распределение энергии в спектре черного тела является неравномерным. Все кривые имеют явно выраженный максимум, который по мере повышения температуры смещается в сторону более коротких волн. Площадь, ограниченная кривой зависимости r _{l, T} от l и осью абсцисс, пропорциональна энергетической светимости R_e черного тела и, следовательно, по закону Стефана-Больцмана, четвертой степени температуры.

Немецкий физик В. Вин (1864-1928), опираясь на законы термо- и электродинамики, установил зависимость длины во­лны l_mах соответствующей максимуму функции r _{l, T}, от температуры Т. Согласно закону смещения Вина,

т. е. длина волны l_mах, соответствующая максимальному значению спектральной плотности энергетической светимости r_l,T черного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре, b -постоянная Вина: ее экспериментальное значение равно 2,9^.10^-3 м ^. K. Это выражение потому называют законом смещения Вина, что оно показывает смещение положения максимума функции r _{l, T} по мере возрастания температуры в область коротких длин волн. Закон Вина объясняет, почему при понижении температуры нагретых тел в их спектре все сильнее преобладает длинноволновое излучение (например, переход белого каления в красное при остывании металла).

Несмотря на то что законы Стефана-Больцмана и Вина играют в теории теплового излучения важную роль, они являются частными законами, так как не дают общей картины распределения энергии по частотам при различных температурах.

ФОРМУЛЫ РЭЛЕЯ — ДЖИНСА И ПЛАНКА

Из рассмотрения законов Стефана-Больцмана и Вина следует, что термодинамический подход к решению задачи о нахождении универсальной функции Кирхгофа r _{n ,T} не дал желаемых результатов. Следующая строгая попытка теоретического вывода зависимости r _{n ,T} принадлежит английским ученым Д.Рэлею и Д.Джинсу (1877-1946), которые применили к тепловому излучению методы статистической физики, воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы. Формула Рэлея - Джинса для спектральной плотности энергетической светимости черного тела имеет вид

где <;e> =kT - средняя энергия осциллятора с собственной частотой n. Для осциллятора, совершающего колебания, средние значения кинетической и потенциальной энергий одинаковы, поэтому средняя энергия каждой колебательной степени свободы <e>= kT.

Как показал опыт, полученное выражение согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно малых частот и больших температур. В области больших частот формула Рэлея-Джинса резко расходится с экспериментом, а также с законом Вина (рис.288). Кроме того, оказалось, что попытка получить закон Стефана-Больцмана из формулы Рэлея-Джинса приводит к абсурду. Действительно, вычисленная с использованием формулы Рэлея-Джинса энергетическая светимость черного тела

в то время как по закону Стефана-Больцмана R_e пропорциональна четвертой степени температуры.

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы». Таким образом, в рамках классической физики не удалось объяснить законы распределения энергии в спектре черного тела.

Правильное, согласующееся с опытными данными выражение для спектральной плотности энергетической светимости черного тела было найдено в 1900 г. немецким физиком М. Планком. Для этого ему пришлось отказаться от установившегося положения классической физики, согласно которому энергия любой системы может изменяться непрерывно, т. е. может принимать любые сколь угодно близкие значения. Согласно выдвинутой Планком квантовой гипотезе, атомные осцилляторы излучают энергию не непрерывно, а определенными порциями - квантами, причем энергия кванта пропорциональна частоте колебания (см. (170.3)):

e_o= h n= hc /l,

где h =6,625^.10^-34. Дж с - постоянная Планка. Так как излучение испускается порциями, то энергия осциллятора e может принимать лишь определенные дискретные значения, кратные целому числу элементарных порций энергии e_о:

e =nh n (п =0, 1, 2,...).

В данном случае среднюю энергию <e> осциллятора нельзя принимать равной kT. Вероятность, что осциллятор находится в состоянии с энергией e _n, пропорциональна , но при вычислении средних значений (при дискретных значе­ниях энергии) интегралы заменяются суммами. При данном условии средняя энер­гия осциллятора

а спектральная плотность энергетической светимости черного тела

 

Таким образом, Планк вывел для универсальной функции Кирхгофа формулу

которая блестяще согласуется с экспериментальными данными по распределению энергии в спектрах излучения черного тела во всем интервале частот и температур. Теоретический вывод этой формулы М. Планк изложил 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического общества. Этот день стал датой рождения квантовой физики.

В области малых частот, т.е. при h n<< kT (энергия кванта очень мала по сравнению с энергией теплового движения kT), формула Планка совпадает с формулой Рэлея- Джинса. Для доказательства этого разложим экспоненциальную функцию в ряд, ограничившись для рассматриваемого случая двумя первыми членами:

Подставляя последнее выражение в формулу Планка, найдем, что

т. е. получили формулу Рэлея-Джинса

Из формулы Планка можно получить закон Стефана-Больцмана.

Введем безразмерную переменную х = hv /(kT); dx = hd n/(kT); d n =kT dx/h. Фор­мула для R_e преобразуется к виду

где , так как . Таким образом, деиствительно формула Планка позволяет получить закон Стефана-Больцмана Кроме того, подстановка числовых значений k, с и h дает для постоянной Стефана-Больцмана величину, хорошо согласующуюся с экспериментальными данными.

Закон смещения Вина получим с помощью формул

откуда

Значение l_mах, при котором функция достигает максимума, найдем, приравняв нулю эту производную. Тогда, введя x = hc /(kT l_max), получим уравнение

Решение этого трансцендентного уравнения методом последовательных приближений дает x =4,965. Следовательно, hc /(kT l_max)=4,965,откуда

т. е. получили закон смещения Вина.

Из формулыПланка, зная универсальные постоянные h, k и с, можно вычислить постоянные Стефана-Больцманаsи Вина b. С другой стороны, зная экспериментальные значения s и b, можно вычислить значения h и k (именно так и было впервые найдено числовое значение постоянной Планка).

Таким образом, формула Планка не только хорошо согласуется с экспериментальными данными, но и содержит в себе частные законы теплового излучения, а также позволяет вычислить постоянные в законах теплового излучения. Следовательно, формула Планка является полным решением основной задачи теплового излучения, поставленной Кирхгофом. Ее решение стало возможным лишь благодаря революционной квантовой гипотезе Планка.