Регулярная точка

Точка поверхности (7) называется регулярной точкой, если при некотором параметрическом задании поверхности в достаточно малой окрестности рассматриваемой точки

а) существуют непрерывные частные производные

б) .

Перечисленные условия обеспечивают существование и линейную независимость векторов и , направленных соответственно по касательным к координатным линиям: линии и линии на поверхности, проходящим через точку .

 

Точка, не являющаяся регулярной, называется особой.

Так, особым точкам соответствуют ребра, вершины и т.д.

 

 

Простой кусок поверхности, ограниченный регулярной замкнутой кривой, называется регулярным, если все его внутренние точки регулярные.

Регулярной (кусочно-гладкой) поверхностью называется двусторонняя простая (замкнутая или незамкнутая) поверхность, составленная из конечного числа регулярных кусков с общими регулярными дугами и точками.

Кусочно-гладкая поверхность квадрируема.

К понятию кусочно-гладкой поверхности прибегают, если на всей поверхности не может быть введена единая параметризация, имеются линии особых точек и т.д.

Примеры кусочно-гладких поверхностей: поверхность цилиндра, поверхность параллелепипеда.

 

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть - регулярная точка поверхности; . В этой точке ! касательная плоскость к поверхности, определяемая уравнением (смешанное произведение)

Производные берутся при .

Единичный вектор нормали к поверхности в точке :

Направление вектора называется направлением положительной нормали в точке . Положительное направление линии (направление вектора ), положительное направление линии (направление вектора ) и положительная нормаль образуют правую систему осей.

В некоторой окрестности каждой регулярной точки кусочно-гладкой поверхности существует непрерывное векторное поле нормалей.

Можно сказать: поверхность является гладкой, если обладает непрерывно изменяющейся нормалью. Кусочно-гладкая поверхность составлена из гладких кусков.

В каждой регулярной точке двусторонней поверхности, заданной уравнением , можно определить векторный элемент поверхности (векторный элемент площади, вектор площадки):

(10)

В случае замкнутой поверхности координаты на поверхности обычно упорядочивают так, чтобы направление вектора (направление положительной нормали к поверхности) было внешним по отношению к телу, ограниченному данной поверхностью.

 

Поверхностный интеграл I рода есть скалярный поверхностный интеграл

. (11)

Интеграл (11) не зависит от выбора стороны поверхности.

 

Поверхностный интеграл II рода есть скалярный поверхностный интеграл

. (12)

Заметим:

. (13)

 

Вспомните условия существования интегралов (11) и (12).

Достаточно: - кусочно-гладкая, и компоненты - кусочно – непрерывные.