Решение. Первый способ. Схематически изобразим графики данных трёхчленов

Первый способ. Схематически изобразим графики данных трёхчленов. Из условия следует, что каждый из этих трёхчленов при x = 1000 принимает положительное значение (см. рис.). Следовательно, и их сумма в этой точке положительна.

График трёхчлена, являющегося суммой данных, также располагается ветвями вверх (он показан на рис. пунктиром). Пусть один из его корней больше тысячи, а другой --меньше тысячи. Тогда число 1000 располагается между корнями, то есть значение суммы при x = 1000 отрицательно. Противоречие.

Второй способ. Параллельно перенесём графики данных трёхчленов на 1000 единиц влево. Эта операция эквивалентна замене в условии задачи 1000 на 0. Получим приведенные трёхчлены: x ² + p ₁ x + q ₁ с отрицательными корнями и x ² + p ₂ x + q ₂ с положительными корнями. Тогда по теореме Виета q ₁ > 0 и q ₂ > 0. Сумма данных трехчленов имеет вид 2 x ² + (p ₁ + p ₂) x + (q ₁ + q ₂), где q ₁ + q ₂ > 0, поэтому ее корни одного знака. Значит, описанная в задаче ситуация невозможна.

Ответ

Нет.

20. Известно, что уравнение x ² + 5 bx + c = 0 имеет корни x ₁ и x ₂, x ₁ x ₂, а некоторое число является корнем уравнения y ² + 2 x ₁ y + 2 x ₂ = 0 и корнем уравнения z ² + 2 x ₂ z + 2 x ₁ = 0. Найти b.

21. Известно, что многочлены ax ² + bx + c и bx ² + cx + a (a 0) имеют общий корень. Найдите его.

22. Пусть — корень уравнения x ² + px + q = 0, а — уравнения x ² - px - q = 0. Докажите, что между и лежит корень уравнения x ² - 2 px - 2 q = 0.

23. Докажите, что корни уравнения
а) (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - a)(x - c) = 0;
б) c (x - a)(x - b) + a (x - b)(x - c) + b (x - a)(x - c) = 0
— всегда вещественные.

24. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (2 - a) x ² - 3 ax + 2 a = 0 больше ?

25. При каких значениях параметра a оба корня уравнения (1 + a) x ² - 3 ax + 4 a = 0 больше 1?

26. При каких значениях параметра a уравнение (a - 1) x ² - 2(a + 1) x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?

27. Найдите все значения параметра r, при которых уравнение (r - 4) x ² - 2(r - 3) x + r = 0 имеет два корня, причем каждый из них больше -1.

28. При каком положительном значении p уравнения 3 x ² - 4 px + 9 = 0 и x ² - 2 px + 5 = 0 имеют общий корень?

29. В квадратном уравнении x ² + px + q = 0 коэффициенты p и q независимо пробегают все значения от -1 до 1. Найдите множество значений, которые могут при этом принимать действительные корни этого уравнения.

30. Автор: Ю.И.Ионин

Квадратный трёхчлен f (x) = ax ² + bx + c таков, что уравнение f (x) = x не имеет вещественных корней. Докажите, что уравнение f (f (x)) = x также не имеет вещественных корней.

31. x₁ – вещественный корень уравнения x²+ax+b=0, x₂ – вещественный корень уравнения x²-ax-b=0. Доказать, что уравнение x²+2ax+2b=0 имеет вещественный корень, заключённый между x₁ и x₂ (a и b – вещественные числа).