Формализованное описание экономических систем как систем массового обслуживания и методы их исследования

Для описания любой системы массового обслуживания необходимо установить:

1) общее число источников требований (N) и взаимосвязи между ними,

2) количество каналов обслуживания (m);

3) входящий поток требований (A);

4) поток обслуживания (B);

5) количество мест ожидания (K),

6) дисциплину и доступность обслуживания;

7) для многофазных систем – матрицу передач между фазами.

Таким образом, любую систему массового обслуживания можно формально описать следующим образом:

A/B/m/K/N,

где A-входной поток требований,

B-поток обслуживания,

N-общее число источников требований,

m-количество каналов обслуживания,

K-количество мест ожидания.

Входящий поток требований – это последовательность требований, поступающих в систему для обслуживания (совокупность периодичностей обслуживания).

В очень редких случаях требования поступают через одинаковые промежутки времени и такие потоки называют регулярными.

Однако, в большинстве случаев поток требований носит случайный характер и описывается математическим ожиданием (), характеристиками рассеяния (V), видом закона распределения интервалов между моментами поступления требований на обслуживание.

Вместо значения средней периодичности поступления заявок () часто используют обратную величину, которая называется интенсивностью потока требований.

,

где l - интенсивность потока требований,

– средняя периодичность поступления заявок на обслуживание.

Поток обслуживания – это совокупность длительностей обслуживания; для его характеристики необходимо также указать математическое ожидание () и степень рассеивания (V) и закон распределения интервалов длительности обслуживания.

Вместо средней длительности обслуживания – обратную величину, которая называется средней интенсивностью потока обслуживания ().

Для практических расчетов наиболее важными являются два вида потоков требований:

1. Простейший, который создается большим числом источников требований и характеризуется следующими свойствами:

- ординарностью,

- стационарностью,

- отсутствием последействия.

Ординарность – невозможность одновременного поступления двух или более требований в бесконечно малый промежуток времени.

Стационарность - предполагает, что средняя интенсивность потока не изменяется с течением времени.

Отсутствие последействия - вероятность поступления требований в определенный промежуток не зависит от предшествующего течения процесса.

2. С простым последействием – поток формируется конечным числом источников требований и интервалы времени между поступлениями соседних требований распределяются по экспоненциальному закону (пример, ремонт и обслуживание оборудования)

Для многофазных систем необходимо определить маршруты требований между фазами, что задается в виде матрицы, содержащей вероятности перехода требований между фазами.

 

Матрица передач для многофазной системы

 

			…	n
		P12	…	P1n
	P21		…	P2n
…	…	…	…	…
n	Pn1	Pn2	…	P1

где Pij – характеризует вероятность перехода требования от i-фазы к j-фазе.

n – количество фаз обслуживания

 

Описав входные параметры системы массового обслуживания, необходимо определить показатели, характеризующие результаты ее работы (рис. 4.6, 4.7).

 

Рис. 4.6. Схема моделирования в теории массового обслуживания

 

Для расчета указанных результирующих характеристик СМО разработаны аналитические зависимости: для каждого типа системы свои зависимости. Вместе с тем теория массового обслуживания – относительно молодая наука, аналитические зависимости в которой разработаны лишь для очень ограниченного числа систем массового обслуживания. Это, в основном, системы с экспоненциальным распределением длительности обслуживания и интервалов между моментами требований.

В остальных случаях для расчета результирующих характеристик рекомендуется использовать имитационное моделирование на ПЭВМ.

 

Рис. 4.7. Схема применения теории массового обслуживания для оптимизации хозяйственных систем

 

Практический пример. Разработка норм численности с использованием ТМО (15)

 

Имеется инструментальный склад, обслуживающий несколько цехов фирмы. Аналитически известны интенсивность потока требований на инструмент λ и интенсивность потока обслуживаний μ за смену. Известны также потери в единицу времени: от простоя в очереди - n усл. ед., на содержание кладовщика - т усл. ед.

Менеджеров, организующих производственный процесс, интересует среднее время ожидания обслуживания и среднее время обслуживания при разном количестве кладовщиков s инструментального склада. Также важно найти оптимальное количество кладовщиков с учетом затрат в единицу времени на простой в очереди и на содержание кладовщика.

 

Методика решения задачи:

При работе одного кладовщика данную задачу можно представить в виде одноканальной системы обслуживания с неограниченной очередью.

ρ =

При ρ > 1 очередь растет неограниченно.

При ρ < 1 имеем следующие показатели.

Вероятность отсутствия очереди:

p ₀ = 1 - ρ

Вероятность очереди из (k - 1) заявок:

p_k = ρ ^k (1 - ρ) или p_k = ρ ^kp ₀

Среднее время ожидания в системе T_c = 1/μ (1/(1 - ρ)).

T_c = Т_ож + Т_обс

Среднее время ожидания обслуживания:

Т_ож = 1/μ (1/(1 - ρ)).

Среднее время обслуживания:

Т_обс = 1/μ

При работе s кладовщиков задачу можно описать как многоканальную систему с неограниченной очередью.

Если ρ / s < 1, то существуют финальные вероятности.

Если ρ / s ≥ 1, то очередь растет до бесконечности.

При этом ρ может быть больше 1.

Предположим, что условие (ρ / s) < 1 выполнено. Тогда вероятность отсутствия очереди равна:

p₀=

Среднее число заявок в очереди:

L_оч= .

Среднее число заявок в системе (с учетом уже обслуживающихся заявок):

L_c=L_оч+p.

Среднее время пребывания заявки в очереди:

Т_оч= .

Среднее время пребывания заявки в системе:

Т_с=

Предположим, что затраты в единицу времени на простой составляют 7 усл. ед., а на содержание одного кладовщика 5 усл. ед. Тогда получим следующие результаты при разном количестве кладовщиков (полагаем, что λ = 1, 6, μ = 0, 9, р = 1, 77).

При s=2: Т_с = 5, 11, общие затраты 7*5, 11 + 5*2 = 45, 77 усл. ед.

При s=3: Т_с= 1, 42, общие затраты 7 * 1, 42 + 5 * 3 = 24, 94 усл. ед.

При s=4: Т_c = 1, 17, общие затраты 7 * 1, 17 + 5 * 4 = 28, 19 усл. ед.

Видно, что с экономической точки зрения выгодно держать на складе трех кладовщиков.

Варианты заданий 1

(рассчитать показатели работы СМО

для одного кладовщика)

 

№ варианта
λ	1, 25	2, 50	3, 78	4, 89	3, 75	2, 80	1, 85	1, 90
μ	1, 50	3, 75	4, 56	5, 50	4, 45	3, 60	2, 76	2, 16

 

№ варианта
λ	1, 80	1, 34	1, 54	1, 45	2, 67	1, 76	2, 65	1, 35
μ	2, 16	2, 46	2, 00	1, 79	2, 74	1, 90	3, 46	1, 46

 

№ варианта
λ	1, 56	1, 47	1, 78	1, 90	1, 76	1, 54	1, 74	1, 85
μ	1, 95	2, 00	2, 16	2, 04	1, 80	1, 95	2, 16	2, 45

 

Варианты заданий 2

(рассчитать показатели работы СМО для 2, 3,..., 5 кладовщиков,

принять решение об их оптимальном количестве с учетом затрат

на простой n и на содержание одного кладовщика m)

 

№ варианта
λ	1, 71	2, 50	2, 78	1, 89	1, 75	1, 80	2, 85	3, 90
μ	1, 00	1, 75	2, 00	1, 25	1, 15	1, 26	2, 00	3, 36
n
m

 

№ варианта
λ	3, 80	2, 34	3, 75	2, 45	3, 00	2, 76	1, 65	2, 35
μ	2, 56	1, 46	3, 00	1, 39	2, 54	2, 27	0, 96	1, 36
n
m

 

№ варианта
λ	1, 56	1, 47	2, 78	2, 90	2, 76	1, 54	1, 74	1, 85
μ	0, 85	0, 58	1, 96	1, 84	1, 73	0, 95	0, 96	1, 45
n
m