Структура бесконечного кластераМодель Шкловского –Де Жена Рассмотрим задачу узлов допуская, что концентрация неблокированных узлов немного выше пороговой, так что существует бесконечный кластер. Он представляет собой бесконечные цепочки из связанных друг с другом узлов. Если соединить все связанные узлы бесконечного кластера отрезками прямых, то получится набор пересекающихся друг с другом ломаных линий (рис.7.18), где показана одна такая линия). Структурой бесконечного кластера называют его геометрию в масштабах, гораздо больших, чем период решетки. В таких масштабах изломы, происходящие в отдельных узлах решетки, не воспринимаются глазом и цепочка представляется плавно изогнутой линией.
Рис. 7.18. Фрагмент бесконечного кластера с мертвыми концами
На рис. 7.18 изображен небольшой фрагмент бесконечного кластера. На концах A и B кластер не кончается – он уходит налево и направо на бесконечное расстояние. Введем теперь следующую классификацию точек и линий бесконечного кластера. Участки бесконечного кластера делятся на скелет и мертвые концы. Считается, что точка принадлежит скелету бесконечного кластера, если по крайней мере два пути, выходящие из нее в разные стороны, позволяют уйти на бесконечное расстояние. Такой точкой является, например, точка С на рис.90. Из нее можно уйти на бесконечное расстояние, двинувшись и в правую, и в левую стороны. Если только один путь, выходящий из точки, ведет на бесконечное расстояние, то эта точка принадлежит мертвому концу. Например, из точки D на рис. 7.18 можно уйти на бесконечное расстояние, двигаясь только вверх. Движение вниз приводит в тупик. Поэтому считается, что точка D лежит на мертвом конце. Отбросим мысленно все мертвые концы и постараемся представить как устроен скелет бесконечного кластера. Простейшая модель скелета была предложена независимо друг от друга Б.И. Шкловским и П. де Женом. Для плоской задачи эта модель представляет собой нечто вроде очень большой рыболовной сети, старой и изрядно потрепанной. Она уже потеряла строгую периодичность, ее веревки не натянуты. некоторые узлы в ней порваны, другие съехали со своего места, но тем не менее «в среднем» это сеть (рис.7.19).
Рис. 7.19. Скелет бесконечного кластера Характерный линейный размер ячейки этой сети R называется радиусом корреляции бесконечного кластера. Он резко возрастает с приближением к порогу протекания: . (7.7) Здесь l – длина, равная по порядку величины периоду решетки, v – положительное число, которое называется индексом радиуса корреляции. Таким образом, по мере приближения к порогу протекания сетка становится все более и более редкой. Существование обращающегося в бесконечность радиуса корреляции является общим свойством всех критических явлений. То, что он обращается в бесконечность именно но степенному закону (7.7), не является строго доказанным, но лежит в основе современных представлений о критических явлениях и, по-видимому, хорошо подтверждается экспериментальными данными. Радиус корреляции имеет смысл и при x < xc, т.е. ниже порога. В этой области он описывает максимальный размер конечных кластеров. Если x → xc со стороны меньших значений (x < xc), то радиус корреляции тоже обращается в бесконечность по закону (7.7). Это означает, что при подходе к порогу протекания снизу конечные кластеры неограниченно увеличивают свои размеры и при x = xc сливаются в бесконечный кластер. Таким образом, зависимость R (x) имеет вид, схематически показанный на рис.7.20. В случае объемных задач модель Шкловского - де Жена имеет аналогичный вид. Она похожа на сильно испорченный проволочный каркас трехмерной решетки, причем средняя длина одной ячейки выражается формулой (7.7). Следует только иметь в виду, что численные значения индексов радиуса корреляции для плоских и объемных задач разные. Рассмотрим теперь, к каким следствиям приводит представление о сеточной структуре бесконечного кластера.
Рис. 7.20. Зависимость радиуса корреляции от x. Показана ширина критической области δ для квадрата L × L (см. следующий раздел).
|