Волновой пакет. Групповая скорость. Дисперсия волн

Гармоническая (синусоидальная) волна с частотой является идеализацией, т.е. в реальных случаях ее не существует. Это связано с тем, что для нее разброс по частотам равен нулю (). Поэтому, в соответствии с формулой (5.43), время излучения такой волны стремится к бесконечности (). Это означает, что такая синусоидальная волна занимает все пространство () и никакой полезной информации в себе не несет.

В реальных случаях время излучения волны частоты является конечным, т.е. волна занимает ограниченную область пространства () и имеет не равный нулю разброс по частотам (), т.е. представляет собой группу волн.

Вводят понятие волнового пакета – это группа волн, занимающая в каждый данный момент времени ограниченную область пространства (рис. 6.10).

Рис. 6.10

 

Для описания движения волнового пакета вводят понятие групповой скорости как: 1) скорости движения центра волнового пакета; 2) скорости движения максимального значения его амплитуды (например, точки В на рис. 6.10); 3) скорости переноса энергии волнового пакета.

Для того чтобы записать формулу для групповой скорости волнового пакета, поступим следующим образом:

1. Возьмем линейную среду, для которой выполняется принцип суперпозиции, а именно, возмущение, возникающее в среде при распространении группы волн, можно представить как сумму возмущений, которые возникают в среде при распространении в среде только одной волны этой группы. Этот принцип суперпозиции позволяет представить волновой пакет в виде суммы гармонических волн, частота которых заключена в узком интервале частот (, ), и модулей волновых чисел в интервале (, ), где под можно понимать частоту этого волнового пакета.

2. Рассмотрим частный случай волнового пакета, состоящего из двух гармонических волн одинаковой амплитуды с близкими значениями циклических частот () и волновых чисел ():

, и , ,

причем

, .

Складывая эти волны, можно получить

.

Первый сомножитель в этом выражении изменяется значительно медленнее со временем и координатой , чем второй, и представляет собой амплитуду волнового пакета

.

Максимальное значение амплитуды волнового пакета (оно соответствует точке В на рис. 6.10) наблюдается при фазе колебаний, равной нулю, что приводит к следующей формуле для групповой скорости

, (6.29)

где учтено, что интервалы частот и модулей волновых векторов являются малыми и поэтому их можно записать в виде и .

Полученная формула для групповой скорости (6.29) будет справедливой и в общем случае.

3. Введем понятие дисперсии волн. Под явлением дисперсии волн понимают зависимость фазовой скорости волны от частоты или длины волны ().

Для линейной среды в отсутствии явления дисперсии (), все фазовые скорости волн, составляющих волновой пакет, будут одинаковы и равны групповой скорости волнового пакета. Например, на рис. 6.10, а в разные моменты времени положение точки С относительно центра волнового пакета и относительно других составляющих этот пакет волн не изменяется: .

4. Рассмотрим диспергирующие среды – это среды, в которых наблюдаются явления дисперсии. Для этих сред между групповой скоростью волнового пакета и фазовой скоростью составляющих его волн можно получить следующую формулу связи

,

. (6.30)

Из выражения (6.30) видно, что при наличии явления дисперсии () фазовые скорости волн будут отличаться от групповой скорости волнового пакета. При этом различают два случая: 1) нормальная дисперсия ( ) наблюдается для тех сред, для которых фазовая скорость волн будет превышать групповую скорость: . Так, например, на рис. 6.10, б фиксированное значение фазы волны для точки С перемещается внутри волнового пакета к его конечной точке А, т.е. );
2) аномальная дисперсия () наблюдается в тех случаях, когда фазовая скорость волн, составляющих волновой пакет, будет меньше групповой скорости: (фиксированное значение фазы волны для точки С перемещается внутри волнового пакета к начальной точке D).

Явление нормальной дисперсии наблюдается для прозрачных сред, а аномальной дисперсии – для сред, поглощающих излучение. Причем, для сред с большим коэффициентом поглощения групповая скорость не вводится Это связано с тем, что в таких средах волновой пакет резко изменяет свою форму, а потеря энергии, приводит к тому, что понятие групповой скорости, как скорости переноса энергии утрачивает свой смысл.

Понятие групповой скорости используется в методах измерения скоростей распространения волн. Именно она фигурирует при измерении дальности в гидро- и радиолокации, в методах зондирования ионосферы, в системах управления космическими объектами и т.д. Отметим, что, согласно теории относительности, групповая скорость всегда меньше скорости света в вакууме ().