Дискретная случайная величина
Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно из возможных значений, наперед неизвестное и зависящее от случайных причин, которые заранее не могут быть учтены. Обозначают случайные величины буквами Х, Y, Z, а их возможные значения — х, у, z. Дискретной называют случайную величину, которая принимает отдельные, изолированные друг от друга значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или бесконечным, но счетным. Дискретная случайная величина может быть задана рядом распределения — это соответствие между возможными значениями и их вероятностями:
, . События образуют полную группу, следовательно, сумма вероятностей этих событий равна единице: . Ряд распределения дискретной случайной величины можно изобразить графически в виде полигона или многоугольника распределения вероятностей. Для этого по горизонтальной оси в выбранном масштабе нужно отложить значения случайной величины, а по вертикальной — вероятности этих значений, тогда точки с координатами будут изображать полигон распределения вероятностей; соединив же эти точки отрезками прямой, получим многоугольник распределения вероятностей.
Пример 7.1. Пусть Х — дискретная случайная величина, заданная рядом распределения
Построить полигон и многоугольник распределения вероятностей.
Рис. 7.1
Точки изображают полигон распределения, а ломаная — многоугольник распределения вероятностей. Дискретная случайная величина может быть задана функцией распределения. Функцией распределения случайной величины Х называется функция , выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение меньшее х: Функцию иногда называют интегральной функцией распределения. Если значения случайной величины — точки на числовой оси, то геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная величина Х попадает левее заданной точки х (рис. 7.2): Рис. 7.2 F (x) обладает свойствами: 1. Функция распределения случайной величины есть неотрицательная функция, заключенная между нулем и единицей: . Утверждение следует из того, что функция распределения — это вероятность. 2. Функция распределения есть неубывающая функция на всей числовой оси. 3. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, на плюс бесконечности равна 1, т.е. ; . 4. Вероятность попадания случайной величины в интервал (включая ) равна приращению ее функции распределения на этом интервале, т.е. .
|