Теоремы сложения и умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей несовместных событий.Вероятность появления одного из двух несовместных событий

Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий Р(А+В) = Р(А)+Р(В).

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

(А+) = (А) + () – (А).

Теорема умножения вероятностей независимых событий. Вероятность появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

(А) = (А) ().

Иногда бывает необходимо определить вероятность события В при дополнительном условии, что произошло некоторое другое событие А.

Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло называется вероятность Р(В/А)(или Р_А(В)), которая вычисляется по формуле

(или Р(А/В) = ).

При этом, равенство в скобках определяет условную вероятность события А при условии, что событие В произошло.

Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Р(АВ) = Р(А) Р(В/А),

Р(АВ) = Р(В) Р(А/В).

Пример 8. В урне 30 шариков: 5 голубых, 10 красных и 15 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик.

Решение. Извлечение цветного шарика означает извлечение шарика голубого или красного цвета. Вероятность извлечения голубого шарика (событие А): Р(А) = , красного шарика (событие В): Р(В) = . Так как события А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В) = (или непосредственно: Р(А+В) = ).

Пример 9. В коробкенаходятся 15 изделий, причем 5 из них высшего сорта. Продавец берет наугад три. Найти вероятность того, что хотя бы одно из них окажется высшего сорта.

Решение. Событие А – выбрать хотя бы одно изделие высшего сорта - состоит из трех событий: А₁ – только одно из трех изделий высшего сорта, А₂ – только два из трех изделий высшего сорта, А₃ – все три изделия высшего сорта. То есть, А = А₁ + А₂ + А₃. Все события несовместны. По теореме сложения несовместных событий:

Р(А) = Р(А₁ + А₂ + А₃) = Р(А₁) + Р(А₂) +Р(А₃).

Вероятности событий А₁, А₂ и А₃ вычисляются следующим образом:

Р(А₁) = Р(А₂) = ; Р(А₃) =

Тогда вероятность события А будет равна

Р(А) = .

Пример 10. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0, 6, а для второго – 0, 8. Найти вероятность того, что при одном залпе в мишень будет только одно попадание.

Решение. Событие, состоящее из одного попадания в мишень, представляет собой сумму двух событий А₁ + А₂, где А₁ - попадание первого стрелка и промах второго, А₂ - попадание второго стрелка и промах первого.

Тогда вероятность одного попадания в мишень вычисляется следующим образом:

Р = 0, 6(1 – 0, 8) + 0, 8(1 – 0, 6) = 0, 6^. 0, 2 + 0, 8 ^. 0, 4 = 0, 44.

Пример 11. В коробке лежат жетоны с номерами от 11 до 60. Наугад выбирается один жетон. Найти вероятность того, что номер жетона является кратным 2 или 3.

Решение. Событие А – номер жетона кратен двум, событие В – кратен трем. Событие АВ – номер кратен и 2, и 3. Тогда событие А + В – номер жетона кратен 2 или 3. Вероятность суммы совместных событий -

(А +) = (А) + () - (А), при этом соответствующие вероятности событий, будут:

Р(А) = ; Р(В) = ; Р(АВ) = , а в итоге вероятность суммы:

Р(А + В) = .

Пример 12. В коробке находится 20 изделий, из которых 12 – высшего сорта. Покупатель берет из коробки два изделия одно за другим. Какова вероятность того, что оба изделия высшего сорта.

Решение. Событие А - первое из изделий высшего сорта, событие В - второе изделие высшего сорта. Событие А является независимым, поэтому его вероятность равна

Р(А) = .

Событие В зависит от того, появилось или не появилось событие А, следовательно его вероятность является условной: если первое изделие было высшего сорта, то вероятность того, что второе изделие будет высшего сорта равна

Р(В/А) = .

Тогда вероятность того, что оба изделия высшего сорта, вычисляется следующим образом:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А) = .

Пример 13. При тех же условиях, что в примере 10, покупатель вынимает одно из изделий, затем возвращает его в коробку, перемешивает изделия и вынимает во второй раз. Нужно найти вероятность того, что оба вынутых изделия высшего сорта (выборка с возвращением).

Решение. Вероятность того, что первое изделие высшего сорта равна

Р(А) = .

Очевидно, событие - «во второй раз вынуть изделие высшего сорта» является независимым от предшествующего события, поэтому –

Р(В) = .

Тогда вероятность совместного появления двух событий равна

Р(АВ) = Р(А)Р(В) = .