Тема 1 Статистические закономерности радиоактивных

Процессов

 

1 Случайная величина и законы распределения.

2 Моменты распределения случайной величины

3 Связь распределения Пуассона с распределением Гаусса

4 Проверка гипотез о законе распределения. Критерий согласия

Основные понятия по теме

Из-за разнообразных неконтролируемых воздействий резуль­таты измерения макроскопической величины имеют статистиче­ский характер. Если речь идет об измерении числа актов радио­активного распада, происшедшего за какое-то время, то флукту­ирует сама измеряемая величина, а измерительный прибор (счет­чик частиц) в первом приближении можно считать идеальным, т.е. не подверженным статистическому влиянию окружающих условий.

Если некоторая величина X в ряде измерений может принимать различные числовые значения и значение величины Х в каждом случае не может быть указано заранее (непред­сказуемо), то величина Х называется случайной величиной. Другими словами случайнойназывают величину, которая в результате опыта (наблюдения, измерения) принимает одно возможное, но заранее неизвестное значение. Случайная величина может быть дискретной или непрерывной.

Охарактеризовать случайную величину можно при помощи закона распределения. Под законом распределения случайной величины понимается со­ответствие, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и вероятностями принятия этих значений. Это соответствие может быть задано в виде таблицы, графика или мате­матической формулы.

Наиболее универсальный способ описания случайных величин заключается в отыскании их интегральных или дифференциальных функций распределения.

Под интегральной функцией распределения результатов наблюдений понимается зависимость вероятности того, что результат наблюдения Х в i -м опыте окажется меньшим некоторого текущего значения х_i, от самой величины х. Другими словами под функцией распределения случайной величины Х для текущего значения х понимают вероятность не события Х = х, а вероятность события Х < х. Обозначают это как

F (x) = P (X < x).

 

На рисунке 1.1 показаны примеры функций распределения вероятности.

 

Рисунок 1.1 – Интегральные функции распределения

Свойства интегральной функции F (х):

1 F (х) – неубывающая функция, т.е. F (х ₂) ≥ F (х ₁) при х ₂ > х ₁.

2 F (х = – ∞) = 0.

3 F (х = + ∞) = 1

 

Численные значения результатов изме­рений обычно распределены по некоторому непрерывному веро­ятностному закону, чаще всего по закону Гаусса.

Измеряемая величина (например, число актов радиоак­тивного распада) является уже не непрерывной, а дискретной, и наиболее характерным законом распределения, вместо закона Гаусса, является закон Пуассона, а иногда биномиальный закон.

Чаще в радиационных измерениях приходиться иметь дело с распределением Пуассона. К примеру вероятность р_k того, что в течение времени t в счетчик попадет k частиц, дается известной формулой Пуассона:

(1.1)

 

где n - поток частиц.

Среднее число актов радиоактивного распада определяется равенством

(1.2)

Если интенсивность не зависит от времени, то , откуда следует, что интенсивность n имеет смысл среднего числа актов, осуществляющихся за единицу времени.

Тогда формулу (1.1) можно записать в виде

 

(1.3)

 

Как видно из (1.3), распределение Пуассона полностью опре­деляется заданием только одного параметра - среднего числа актов. Экспериментальное определение является, как правило, основной целью большей части измерений, проводимых в радиационных измерениях. Из формулы (1.3) следует, что при всяком значении возмож­но осуществление любого числа актов . Однако не все события встречаются одинаково часто. Если величина k близка к , то вероятность рk велика, в противном случае - мала. Мерой от­клонения случайной величины k от ее среднего значения (мерой флуктуации) является дисперсия.

Дисперсией некоторой случайной величины x называется вы­ражение

(1.4)

 

Величину называют абсолютной флуктуацией случайной величины x, а величину – ее относительной флуктуацией.

В случае закона Пуассона дисперсия среднему числу актов абсолютная флуктуация а относительная флуктуация . Эти соотношения играют основную роль во всех при­ложениях закона Пуассона. Их смысл состоит в следующем. Если регистрировать отсчеты счетчика в очень большом числе равных интервалов, то в большей части интервалов число отсчетов k бу­дет отличаться от не более чем на . Абсолютная флуктуация возрастает с ростом , однако относительная ошибка dk уменьшается обратно пропорцио­нально квадратному корню из числа сосчитанных частиц. Отсю­да можно найти число частиц k, которое нужно сосчитать для достижения заданной относительной ошибки d:

 

(1.5)

Закон Пуассона определен только для положительных значе­ний k. На практике он часто применяется в тех случаях, когда нужно оценить надежность измерений и ошибки измеренных ве­личин в случае наблюдения редких событий (отличающихся ма­лой интенсивностью).

По мере роста распределение Пуассона становится все более симметричным относительно среднего значения .

В этих условиях вместо вероятности рk осуществления того или иного числа отсчетов можно пользоваться уже другой ве­личиной, а именно, вероятностью р (k) того, что число отсчетов заключено в " бесконечно малом" интервале от k до k + dk. По абсолютной величине интервал dk может содержать несколько единиц. Однако он мал по сравнению с интересующими нас k, равными по порядку величины среднему числу отсчетов . Тем самым дискретное распределение заменяется непрерывным. В этом случае рассматриваемая величина k распределена по закону Гаусса:

 

(1.6)

 

Закон Гаусса определен как для положительных, так и от­рицательных значений k. Величина , имеющая смысл отклонения числа отсчетов k от среднего значения, распределена по закону

 

(1.7)

 

При помощи (1.7) можно вычислить вероятность того, что величина заключена интервале от у = у ₁ до у = у ₂. Ис­комая вероятность

(1.8)

 

Заменяя переменную по формуле , получим

 

(1.9)

или

(1.10)

где

– функция Гаусса. (1.11)

 

Значения функции Гаусса приводятся в разнообразных мате­матических и физических справочниках.

Распределение Гаусса является хорошим приближением для описания широкого круга статистических явлений. В ядерной фи­зике оно описывает, например, распределение углов упругого рассеяния при прохождении заряженной части­цы через вещество, распределение пробегов тяжелых заряженных частиц в веществе, распределение импульсов по амплитудам при регистрации заряженных частиц полупроводниковым и сцинтилляционным детекторами и т. д.

Распределение c² (хи-квадрат) находит широкое применение при проверке согласия экспериментальных данных с некоторой априорной гипотезой, получении доверительных интервалов для статистических параметров, проверке независимости переменных и в ряде других задач.

Пусть x ₁, x ₂… x _i… x _n – набор n случайных величин, каж­дая из которых распределена по нормальному закону со своим математическим ожиданием и дисперсией s_i. Квадраты нор­мированных значений х _i в силу случайности х _i - также случайные величины. Их сумма также является слу­чайной величиной

 

(1.12)

 

Очевидно, что величина всегда положительна. Параметр в (1.12) называют числом степеней свободы. Поскольку величины u_i нормированы и имеют одно и тоже среднее значение, равное нулю, и равную единице дисперсию, то распределение плотности вероятности случайной величины должно зависеть только от одного параметра, а именно от параметра n. Если не все n слу­чайных величин не зависимы, то число степеней свободы, являю­щееся параметром в распределении , меньше n на число связей. Плотность распределения вероятности для дается формулой

 

(1.13)

Среднее значение равно числу степеней свободы n, а дис­персия – 2n. Для приложений важно распределение накопленной вероятности

 

(1.14)

 

трудно получить непосредственным интегрированием. В руководствах и книгах по статистике приводятся подробные таб­лицы для различных n.

Целью многих экспериментов является оценка закона распре­деления некоторой физической величины. Точный закон распределения случайной величины в эксперименте определить невозможно, поскольку для этого понадобилось бы бесконечное число измерений для получения генеральной совокупности, а из конечного числа измерений определяется лишь конечная выбор­ка. Из этого сразу следует важный вывод о том, что эксперимент не доказывает правильность гипотезы, а лишь позволяет сделать заключение о непротиворечивости ее с данными эксперимента.

Критерием согласия называют критерий проверки гипотезы о предполагаемом распределении. С его помощью можно устано­вить, задавшись так называемой доверительной вероятностью, согласуются экспериментальные данные с априорной гипотезой или нет. Доверительная вероятность определяется условиями за­дачи и обычно принимается близкой к единице, например, 0, 95.

На практике наиболее часто используется критерий согласия . Пусть требуется проверить гипо­тезу о том, что случайная величина X распределена по закону р (х). В опыте получено n независимых изме­рений X. Разобьем всю область изменений X на l интервалов и подсчитаем количество n_i измеренных значений X, попавших в каждый из интервалов. Поскольку теоретическое распределение р (х) предполагается известным, можно рассчитать теоретическое число значений X в i -м интервале np_i, где р_i - вероятность попадания случайной величины в i -й интервал. Если эксперимен­тальные частоты n _i сильно отличаются от теоретических np_i то гипотезу о согласии теории и эксперимента следует отвергнуть. Критерий дает возможность количественно выразить эту сте­пень согласия. В качестве меры расхождения между теорией (np_i) и экспери­ментом (n_i) используют критерий

 

(1.15)

 

Чем меньше различаются теоретические и эксперимен­тальные частоты, тем меньше значение . Рассчитав значение и задавшись доверительной вероятностью a (или уровнем статистической зна­чимости 1-a), находят по таблицам значение . Если при данном , то теория и эксперимент расходятся, если - согласуются.

 

 

Вопросы для самоконтроля

 

1 Понятие дис­персии. Абсолютная и относительная флуктуации случай­ной величины?

2 Распределение Пуассона (формула). Условия применимо­сти. Величина дисперсии для закона Пуассона?

3 Закон Гаусса. Физический смысл параметров?

4 Связь между распределениями Пуассона и Гаусса. При ка­ких условиях распределение Пуассона переходит в закон Гаусса и какими свойствами в таком случае оно обладает?

5 Абсолютная и относительная погрешности измерения слу­чайной величины, распределенной по закону Гаусса.

6 Распределение c². Проверка гипотез о законе распределения с помощью критерия c².