Математическое ожидание, ковариация, дисперсия, корреляция
Случайная переменная – это любая переменная, значение которой не может быть точно предсказано. Дискретной называется случайная величина, имеющая определенный набор возможных значений (например, число выпавшее при бросании игральной кости). Математическое ожидание дискретной случайной величины – это взвешенное среднее всех ее возможных значений по генеральной совокупности, причем в качестве весового коэффициента берется вероятность соответствующего исхода. Предположим, что случайная величина X может принимать n конкретных значений (х 1, х 2, …, х n) и вероятность получения xi равна pi. Тогда математическое ожидание M(x) или μ x
Свойства математического ожидания: 1) M(k) = k, где k – константа; 2) M(k•X) = k •M(X); 3) M(X ± Y) = M(X) ± M(Y); 4) M(X•Y) = M(X) • M(Y), где X и Y – независимые случайные величины; 5) M(X ± k) = M(X) ± k; 6) M(X – μ x) = 0, где μ x = M(X).
Задание 1. 1) Определить M(y), где у = а + b x – x 2, а и b – константы. Оценкой математического ожидания для выборки размера n является выборочное среднее значение
Ковариация является мерой взаимосвязи между двумя случайными величинами. Ковариация случайных величин Х и Y определяется как математическое ожидание произведения отклонения этих величин от своих математических ожиданий Cov (X, Y) = M[(X – μ x)(Y – μ y)]. Свойства ковариации двух случайных величин: 1) Cov (X, Y) = 0, если X и Y независимы; 2) Cov (X, Y) = M(X • Y) – μ x • μ y; 3) | Cov (X, Y) | ≤ σ xσ y, где σ xσ y – средние квадратические отклонения величин X и Y. Выборочная ковариация (корреляционный момент):
Правила расчета ковариации: 1) если Y=V+W, то 2) если Y=kZ, где k – константа, то 3) если Y= k, где k – константа, то Задание 2. Допустим y = a + b z, где a и b – константы. Найти ковариацию между переменными величинами х и у.
Средним квадратическим отклонением (СКО, стандартным отклонением) σ х случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:
Теоретическая дисперсия случайной величины Х – это мера разброса для ее вероятностного распределения. Она определяется как математическое ожидание квадрата разности между величиной Х и ее средним значением по генеральной совокупности
Свойства дисперсии случайной величины: 1) D (k) = 0, где k – константа; 2) D (kX) = k 2 D (X); 3) D (X) = M(X 2) - 4) D (X ± Y) = D (X) + D (Y) ± 2 Cov (X, Y) Оценкой дисперсии по выборке размера n является выборочная дисперсия
несмещенная состоятельная оценка генеральной дисперсии
Задание 3. Имеются данные по шести семьям (домохозяйствам):
Определить ковариацию между величинами x и y, x и v, x и w, x и z. Если каждая семья в выборке имеет по два взрослых человека, чему будет равна ковариация между х и числом взрослых в семье?
Задание 4. Допустим годовой доход индивида (у) определяется выражением: y = 10000 + 500 s + 200 t. Для выборки из пяти индивидов определить: 1) ковариацию между величинами х и у, х и s, х и t; 2) дисперсии величин у, s и t:
|
;
;
.
;
