Метод зон Френеля

Дифракция Френеля играет основную роль в волновой теории, ибо, вопреки принципу Гюйгенса и на основе принципа Гюйгенса - Френеля, объясняет прямолинейность распространения света в свободной от препятствий однородной среде. Чтобы показать это, рассмотрим действие сферической световой волны от точечного источника S₀ в произвольной точке пространства P (рис. 8.1). Волновая поверхность такой волны

Рис. 8.1.

 

симметрична относительно прямой S ₀ P. Амплитуда искомой волны в точке P зависит от результата интерференции вторичных волн, излучаемых всеми участками dS поверхности S. Амплитуды и начальные фазы вторичных волн зависят от расположения соответствующих источников dS по отношению к точке P.

Воспользовавшись симметрией задачи, Френель предложил оригинальный метод разбиения волновой поверхности на зоны (метод зон Френеля). По этому методу волновая поверхность разбивается на кольцевые зоны (рис.8.1), построенные так, что расстояния от краев каждой зоны до точки P отличаются на l/2 (l - длина световой волны в той среде, в которой распространяется волна). Если обозначить через r ₀ расстояние от вершины волновой поверхности 0 до точки P, то расстояния r ₀ + k (l/2) образуют границы всех зон, где k - номер зоны. Колебания, приходящие в точку P от аналогичных точек двух соседних зон, противоположны по фазе, так как разность хода от этих зон до точки P равна l /2. Поэтому при наложении эти колебания взаимно ослабляют друг друга, и результирующая амплитуда выразится суммой:

A = A ₁- A ₂ + A ₃ - A ₄ +.... (8.1)

Величина амплитуды A _kзависит от площади D S _k k -й зоны и угла a _kмежду внешней нормалью к поверхности зоны в любой ее точке и прямой, направленной из этой точки в точку P.

Можно показать, что площадь D S _k k -й зоны не зависит от номера зоны в условиях l < < r ₀. Таким образом, в рассматриваемом приближении площади всех зон Френеля равновелики и мощность излучения всех зон Френеля - вторичных источников - одинакова. Вместе с тем, с увеличением k возрастает угол a_kмежду нормалью к поверхности и направлением в точку P, что приводит к уменьшению интенсивности излучения k -й зоны в данном направлении, т.е. к уменьшению амплитуды A _k по сравнению с амплитудами предыдущих зон. Амплитуда A _k уменьшается также вследствие увеличения расстояния от зоны до точки P с ростом k. В итоге A ₁ > A ₂ > A ₃ > A ₄ >... > A _k >...

Вследствие большого числа зон убывание A_k носит монотонный характер и приближенно можно считать, что

. (8.2)

Переписав (8.1) в виде

, (8.3)

обнаруживаем, что, согласно (8.2) и с учетом малости амплитуды удаленных зон, все выражения в скобках равны нулю и уравнение (8.1) приводится к виду

A = A ₁ / 2.(8.4)

Полученный результат означает, что колебания, вызываемые в точке P сферической волновой поверхностью, имеют такую же амплитуду, как если бы действовала только половина центральной зоны Френеля. Следовательно, свет от источника S ₀ в точку P распространяется как бы в пределах очень узкого прямого канала, т.е. прямолинейно. Мы приходим к выводу, что в результате явления интерференции уничтожается действие всех зон, кроме первой.