Эффект Зеебека

 

Физическая суть этого явления описана в кратких теоретических сведениях к лабораторной работе №11 и работе №14. Математически явление Зеебека описывается выражением (14.2) или, что то же самое, (11.4) то есть

 

, (15.1)

 

где ε – термоэлектрическая электродвижущая сила (термоэдс),

Δ Т – разность температур на контактах двух разных материалов, образующих контур.

Такой контур называют термопарой или термоэлектрическим элементом (см. рис.14.1 или рис.11.3).

Иногда закон Зеебека записывают в дифференциальной форме

 

, (15.2)

 

где - напряженность термоэлектрического поля,

- градиент температуры.

Существует три причины, приводящие к появлению термоэдс и, соответственно им, три составляющие термоэдс.

Первая – это так называемая контактная составляющая, связанная с тем, что контактная разность потенциалов на границе двух материалов (в контакте) различна при разных температурах. К примеру, на горячем контакте она выше, а на холодном ниже. И не смотря на то, что при обходе по контуру термопары эти две контактные разности потенциалов имеют разный знак, при сложении их сумма с учетом знака не обращается в нуль.

Вторая – это, так называемая, объемная или диффузионная составляющая. Появление этой составляющей термоэдс связано с появлением диффузионного тока носителей заряда от горячего контакта к холодному вследствие появления разности давления между горячей и холодной частью газа носителей.

И третья – это составляющая, связанная с эффектом увлечения носителей заряда фононами, диффундирующими также от горячей области кристаллического материала к холодной. Эта последняя составляющая, как показывает теоретический анализ, обратно пропорциональна температуре и наибольшим образом проявляет себя только при очень низких температурах, а при температурах близких к комнатной эта составляющая для большинства материалов пренебрежимо мала по сравнению с первыми двумя составляющими. Выражение для коэффициента термоэдс этой составляющей выглядит так [1, 2]

, (15.3)

 

где k – постоянная Больцмана,

e – заряд носителя (электрона или дырки),

m – эффективная масса носителя,

υ _ф – скорость звука (скорость фонона),

τ _ф и τ _э – соответственно время релаксации фонона и электрона.

Даже при условии, что время релаксации фонона на порядок превышает время релаксации электрона (или дырки), оценка этой составляющей дает значение не превышающее 10^-6 В/К при комнатных температурах. Поэтому для большинства материалов, особенно полупроводников, эту составляющую можно не учитывать.

Первые же две составляющие можно получить, анализируя их отдельно и затем, просуммировав, или же можно получить их суммарное значение, используя кинетическое уравнение Больцмана, которое определяет неравновесную составляющую функции распределения носителей f₁ следующим образом:

 

, (15.4)

 

где τ – время релаксации носителей,

μ – химпотенциал носителей,

Т - температура,

- градиент температуры,

- градиент электрохимического потенциала,

f₀ – функция равновесного распределения,

υ – полная скорость носителей.

Зная f₁ можно выразить величину плотности электрического тока для этих носителей заряда

, (15.5)

 

где g(E) –функция плотности состояний.

Поскольку явление термоэдс в чистом виде (разорванный контур термопары) проявляется при отсутствии тока, то, подставив выражение (15.4) в выражение плотности тока (15.5) и приравняв его к нулю можно выразить значение градиента электрохимического потенциала, совпадающего с напряженностью термоэлектрического поля с точностью до знака

 

. (15.6)

 

Здесь множитель справа от знака равенства перед градиентом температуры есть ни что иное, как коэффициент термоэдс в законе Зеебека (см.(15.1)), то есть

. (15.7)

 

Интегралы в числителе и знаменателе выражения (15.7) можно вычислить для некоторых простых случаев аналитически.

Случай, когда в неразорванной части термопары находится металл (вырожденный электронный газ); закон дисперсии Е(k) – простой параболический изотропный (здесь k – волновой вектор); длина свободного пробега электронов имеет степенную зависимость от энергии вида λ ~Е^r.

Правая часть выражения (15.7) определяется аналитически и получается следующее выражение для коэффициента термоэдс металлов

 

. (15.8)

Для случая невырожденного электронного газа (для полупроводников) при тех же условиях, накладываемых на закон дисперсии и длину свободного пробега электронов, получается следующее выражение для коэффициента термоэдс

, (15.9)

 

где m* - эффективная масса основных носителей в полупроводнике,

q – заряд носителей с учетом знака.

В случае если в полупроводнике несколько сортов носителей, то коэффициент термоэдс определятся следующим образом

 

, (15.10)

 

где α _i – определяется по формуле (15.7) для i-то сорта носителей,

σ _i – проводимость, определяется как

 

. (15.11)

 

Следует отметить, что сказанное выше относится к случаю изотропной эффективной массы и времени релаксации носителей. На самом деле все кристаллические вещества обладают той или иной степенью анизотропии всех кинетических свойств (явлений переноса). Поэтому необходимо помнить, что вычисление коэффициента термоэдс данного вещества может зависеть также и от направления градиента температуры, вызывающего термоэдс. Подробнее смотри в кратких теоретических сведениях к лабораторной работе №7 и №8.