Минск 2011

 

СОДЕРЖАНИЕ

ВЕРОЯТНОСТЬ. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ…………...……………….....
1. Пространство элементарных событий. Операции над случайными событиями ……………….…......
2. Элементы комбинаторики. Непосредственный подсчет вероятностей..............................................
3. Геометрические вероятности …………....…….....
4. Теоремы сложения и умножения вероятностей
5. Формула полной вероятности и формула Байеса
6. Повторные независимые испытания (схема Бер­нулли) …….............................................…………..
СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ….......………………....
7. Дискретная случайная величина ………......…...
8. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности ……...............................................…...
9. Закон больших чисел …………......……………....
10. Распределение функции одного и двух случайных аргументов ……...............................................
ПРИЛОЖЕНИЯ ……………………………………....
ЛИТЕРАТУРА ………………………………………...

 

ВЕРОЯТНОСТЬ.
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Пространство элементарных событий.
Операции над случайными событиями

 

В основе теории вероятностей лежит понятие случайного эксперимента. Эксперимент считается случайным, если он может закончиться любым из совокупности известных результатов, но до осуществления эксперимента нельзя предсказать, каким именно.

Примеры случайного эксперимента: бросание монеты, игральной кости, проведение лотереи, азартные игры, стрельба по цели, поступление звонков на телефонную станцию и т.п.

Различные результаты эксперимента называют исходами.

Определение 1. Множество всех взаимоисключающих исходов эксперимента называется пространством элементарных событий. Взаимоисключа­ющие исходы — это те, которые не могут наступить одновременно.

Пространство элементарных событий будем обозначать буквой Ω, а его исходы — буквой ω.

Определение 2. Произвольное подмножество пространства элементарных событий называется событием. Событие может состоять из одного или нескольких элементарных событий, а также из счетного или несчетного числа элементарных событий.

Событие Ω, состоящее из всех исходов эксперимента, называется достоверным событием. Оно обязательно происходит, так как эксперимент всегда заканчивается каким-нибудь исходом.

Пустое множество исходов эксперимента называется невозможным событием и обозначается символом ø.

Определение 3. Суммой двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, входящих либо в А, либо в В. Другими словами, под понимают следующее событие: произошло или событие А, или событие В, либо они произошли одновременно, т.е. произошло хотя бы одно из событий А или В (рис. 1.1а).

Определение 4. Произведением двух событий А и В (обозначается АВ) называется событие, состоящее из тех исходов, которые входят как в А, так и в В. Иными словами, АВ означает событие, при котором события А и В наступают одновременно (рис. 1.1б).

Определение 5. Разностью двух событий А и В (обозначается ) называется событие, состоящее из исходов, входящих в А, но не входящих в В.

Смысл события состоит в том, что событие А наступает, но при этом не наступает событие В (рис. 1.1в).

Определение 6. Противоположным(дополнительным) для события А (обозначается ) называется событие, состоящее из всех исходов, которые не входят в А. Наступление события означает просто, что событие А не наступило.

Если события изобразить на плоскости, то результат определенных операций над событиями выглядит следующим образом:

Рис. 1.1

Определение 7. События А и В называются несовместимыми, если нет исходов, входящих как в А, так и в В, т.е. АВ = ø.

Определение 8. Говорят, что событие А содержится в событии В (обозначается ), если все исходы события А входят в событие В.

 

Свойства операций над событиями

1) ;	2) ;	3) ;
4) ;	5) ;	6) ø;
7) ;	8) ;	9) ;
10) ;	11) ;	12) .

 

 

Пример 1.1. Два шахматиста играют подряд две партии. Под исходом опыта будем понимать выигрыш одного из них в i -й партии или ничью. Построить пространство элементарных исходов.

Решение. Обозначим события — в i -й партии выиграл первый игрок, — второй, С — ничья. Тогда возможные исходы игры:

1. Обе партии выиграл первый игрок .

2. Обе партии выиграл второй игрок .

3. Обе партии закончились вничью .

4. В первой партии выиграл первый игрок, во второй — второй .

5. В первой выиграл первый игрок, во второй — ничья .

6. В первой партии победа второго игрока, во второй — первого .

7. В первой — победа второго игрока, во второй — ничья .

8. В первой — ничья, во второй — победа первого игрока .

9. В первой — ничья, во второй — победа второго игрока .

Ответ: = , , , , , , , , .

 

 

Пример 1.2. Пусть А, В, С — три произвольных события. Найти выражения для событий, состоящих в том, что из А, В, С:

1. Произошло только А.

2. Произошло А и В, но С не произошло.

3. Все три события произошли.

4. Произошло, по крайней мере, одно из событий.

5. Произошли, по крайней мере, два события.

6. Произошло одно и только одно событие.

7. Произошли два и только два события.

8. Ни одно событие не произошло.

9. Произошло не более двух событий.